3. Через концы отрезка AB и его середину M проведены параллельные плоскости. Найдите длину отрезка MM₁, если если отрезк AB не пересекает плоскость, и если AA₁=6,8см, B=7,4см.

Решение:

По условию, через концы отрезка AB (точки A и B) и его середину M проведены параллельные плоскости. Это означает, что точки A, B, M лежат в одной плоскости, а плоскости, проведенные через них, параллельны.

Пусть первая плоскость проходит через точку A, а вторая — через точку B. Тогда расстояние между этими плоскостями равно длине отрезка AA₁, где A₁ — проекция точки A на вторую плоскость, или BB₁.

Однако, в условии задачи сказано, что через концы отрезка AB и его середину M проведены параллельные плоскости. Это можно интерпретировать как:

1. Плоскость α проходит через точку A.
2. Плоскость β проходит через точку B.
3. Плоскость γ проходит через точку M.

Эти три плоскости параллельны между собой: α || β || γ.

Пусть A₁ — проекция точки A на плоскость γ, а B₁ — проекция точки B на плоскость γ. Тогда AA₁ и BB₁ — перпендикуляры к плоскости γ.

По теореме о проекциях параллельных отрезков, если через точки A, M, B проведены параллельные перпендикуляры к плоскости, то эти перпендикуляры равны.

Так как M — середина отрезка AB, то M₁ (проекция M на плоскость, параллельную плоскости AB) будет серединой отрезка A₁B₁.

Пусть A₁ — проекция A на некоторую плоскость, а B₁ — проекция B на ту же плоскость. Тогда M₁ — середина A₁B₁.

Если AA₁ и BB₁ — расстояния от концов отрезка AB до некоторой параллельной плоскости, то расстояние от середины отрезка AB (точки M) до этой же плоскости (MM₁) равно среднему арифметическому расстояний AA₁ и BB₁.

\( MM₁ = \frac{AA₁ + BB₁}{2} \)

В условии задачи даны длины AA₁=6,8см и B=7,4см. Вероятно, 'B=7,4см' подразумевает длину BB₁=7,4см.

\( MM₁ = \frac{6,8 + 7,4}{2} = \frac{14,2}{2} = 7,1 \) см.

Ответ: 7,1 см.