3. Биссектриса равностороннего треугольника равна 9\(\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике биссектриса также является медианой и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой, половиной стороны и стороной треугольника.

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол при вершине, из которой проведена биссектриса, равен 30°.
2. Сторона, прилежащая к углу 30°, равна половине гипотенузы (стороны треугольника).
3. Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a \). Тогда половина стороны равна \( \frac{a}{2} \).
4. Биссектриса (высота) равна \( 9\sqrt{3} \).
5. Используем теорему Пифагора: \( (\frac{a}{2})^2 + (9\sqrt{3})^2 = a^2 \).
6. \( \frac{a^2}{4} + 81 \times 3 = a^2 \).
7. \( \frac{a^2}{4} + 243 = a^2 \).
8. \( 243 = a^2 - \frac{a^2}{4} \).
9. \( 243 = \frac{3a^2}{4} \).
10. \( a^2 = 243 \times \frac{4}{3} = 81 \times 4 = 324 \).
11. \( a = \sqrt{324} = 18 \).

Ответ: 18.