3. BD — медиана равнобедренного треугольника ABC. Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр треугольника ABD равен 30 см. Дано: ДАВС равнобедренный BD — медиана ДАВС РДАВС = 50 см PAABD = 30 см Найти: BD

Решение:

Пусть \( AB = BC \) — боковые стороны равнобедренного треугольника \( \triangle ABC \), а \( AC \) — основание. \( BD \) — медиана, проведенная к основанию \( AC \).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( BD \perp AC \) и \( \triangle ABD \) — прямоугольный треугольник.

Периметр \( \triangle ABC \) равен \( P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 50 \) см. Так как \( AB = BC \), то \( 2AB + AC = 50 \) см.

Периметр \( \triangle ABD \) равен \( P_{\triangle ABD} = AB + BD + AD = 30 \) см. Так как \( D \) — середина \( AC \), то \( AD = \frac{1}{2} AC \).

Подставим \( AD = \frac{1}{2} AC \) в уравнение периметра \( \triangle ABD \): \( AB + BD + \frac{1}{2} AC = 30 \) см.

Теперь выразим \( AC \) из уравнения периметра \( \triangle ABC \): \( AC = 50 - 2AB \).

Подставим это выражение для \( AC \) в уравнение периметра \( \triangle ABD \):

\( AB + BD + \frac{1}{2} (50 - 2AB) = 30 \)

\( AB + BD + 25 - AB = 30 \)

\( BD + 25 = 30 \)

\( BD = 30 - 25 \)

\( BD = 5 \) см.

Ответ: 5 см.