№3. а) Решите уравнение 8 cos^2(x) + 6 sin(x) - 3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; π/2].

Решение:

а) Решение уравнения 8 cos^2(x) + 6 sin(x) - 3 = 0:

Заменим \cos^2(x) на (1 - \sin^2(x)), чтобы получить уравнение относительно \sin(x):

• 8(1 - \sin^2(x)) + 6 \sin(x) - 3 = 0
• 8 - 8 \sin^2(x) + 6 \sin(x) - 3 = 0
• -8 \sin^2(x) + 6 \sin(x) + 5 = 0
• 8 \sin^2(x) - 6 \sin(x) - 5 = 0

Пусть t = \sin(x). Тогда получаем квадратное уравнение:

• 8t^2 - 6t - 5 = 0

Найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 8 * (-5) = 36 + 160 = 196
• √D = √196 = 14

Найдем корни t:

• t₁ = (6 + 14) / (2 * 8) = 20 / 16 = 5/4
• t₂ = (6 - 14) / (2 * 8) = -8 / 16 = -1/2

Так как t = \sin(x), и значение синуса находится в диапазоне [-1, 1], то t₁ = 5/4 не подходит.

Рассматриваем t₂ = -1/2:

• \sin(x) = -1/2

Общее решение для этого уравнения:

• x = (-1)^n * arcsin(-1/2) + πn, где n ∈ Z
• x = (-1)^n * (-π/6) + πn, где n ∈ Z

Распишем два случая:

• Если n — четное, n = 2k:
• x = (-1)^{2k} * (-π/6) + 2πk = 1 * (-π/6) + 2πk = -π/6 + 2πk
• Если n — нечетное, n = 2k + 1:
• x = (-1)^{2k+1} * (-π/6) + π(2k+1) = -1 * (-π/6) + 2πk + π = π/6 + 2πk + π = 7π/6 + 2πk

б) Корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; π/2]:

Рассмотрим полученные серии решений:

1. x = -π/6 + 2πk

• При k = 0: x = -π/6. Это значение находится в отрезке [-3π/2; π/2] (т.к. -3π/2 = -9π/6, π/2 = 3π/6).
• При k = 1: x = -π/6 + 2π = 11π/6. Это значение больше π/2, не подходит.
• При k = -1: x = -π/6 - 2π = -13π/6. Это значение меньше -3π/2, не подходит.

2. x = 7π/6 + 2πk

• При k = 0: x = 7π/6. Это значение больше π/2, не подходит.
• При k = -1: x = 7π/6 - 2π = 7π/6 - 12π/6 = -5π/6. Это значение находится в отрезке [-3π/2; π/2].
• При k = -2: x = 7π/6 - 4π = 7π/6 - 24π/6 = -17π/6. Это значение меньше -3π/2, не подходит.

Таким образом, корни, принадлежащие заданному отрезку, это -π/6 и -5π/6.

Ответ:

а) x = (-1)^n * (-π/6) + πn, где n ∈ Z

б) -π/6, -5π/6