3 94. Преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем. ДАНИЕ №5 Найдите значение выражения: 8^-7 : (0,5^-6)^3 = ?

Решение:

Для решения данного выражения преобразуем его, используя свойства степеней.

1. Сначала упростим выражение в скобках: \( (0,5^{-6})^3 \). При возведении степени в степень, показатели перемножаются: \( 0,5^{-6 \times 3} = 0,5^{-18} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( 8^{-7} : 0,5^{-18} \).
3. Представим число 0,5 как \( \frac{1}{2} \) или \( 2^{-1} \). Тогда \( 0,5^{-18} = (2^{-1})^{-18} = 2^{-1 \times -18} = 2^{18} \).
4. Число 8 можно представить как \( 2^3 \). Тогда \( 8^{-7} = (2^3)^{-7} = 2^{3 \times -7} = 2^{-21} \).
5. Теперь выражение выглядит как \( 2^{-21} : 2^{18} \).
6. При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \( 2^{-21 - 18} = 2^{-39} \).
7. Мы можем представить отрицательную степень как дробь: \( 2^{-39} = \frac{1}{2^{39}} \).
8. Альтернативно, можно было заметить, что \( 0,5 = \frac{1}{2} \). Тогда \( 0,5^{-6} = (\frac{1}{2})^{-6} = 2^6 \).
9. Возводим в третью степень: \( (2^6)^3 = 2^{18} \).
10. Теперь выражение: \( 8^{-7} : 2^{18} \).
11. Переводим 8 в степень двойки: \( (2^3)^{-7} = 2^{-21} \).
12. Делим: \( 2^{-21} : 2^{18} = 2^{-21-18} = 2^{-39} \).

Ответ: \( 2^{-39} \).