3.8. Однородный стержень длиной 5 м и массой 100 кг удерживается в горизонтальном положении с помощью двух опор А и В (см. рисунок). Расстояние между опорами 2 м. Найти силы реакции опор. (250 Н; 1250 H)

Решение:

Пусть длина стержня \( L = 5 \) м, масса стержня \( m = 100 \) кг. Сила тяжести, действующая на стержень, \( F = mg \), где \( g \) — ускорение свободного падения, примем \( g \approx 10 \) м/с². \( F = 100 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 = 1000 \text{ Н} \).

Стержень однородный, значит, сила тяжести приложена к его середине. Расстояние от середины стержня до опоры А равно \( L/2 = 5/2 = 2.5 \) м. Расстояние от середины стержня до опоры В равно \( 2.5 - 2 = 0.5 \) м.

Для нахождения сил реакции опор \( N_A \) и \( N_B \) применим условие равновесия стержня. Сумма моментов сил относительно точки опоры А равна нулю:

\[ M_A = - F \cdot \frac{L}{2} + N_B \cdot d = 0 \]

где \( d \) — расстояние между опорами, \( d = 2 \) м.

\[ -1000 \text{ Н} \cdot 2.5 \text{ м} + N_B \cdot 2 \text{ м} = 0 \]

\[ N_B \cdot 2 \text{ м} = 2500 \text{ Н} \cdot \text{м} \]

\[ N_B = \frac{2500}{2} = 1250 \text{ Н} \]

Теперь найдем силу реакции опоры А. Используем условие равновесия сил по вертикали:

\[ N_A + N_B - F = 0 \]

\[ N_A + 1250 \text{ Н} - 1000 \text{ Н} = 0 \]

\[ N_A = 1000 \text{ Н} - 1250 \text{ Н} = -250 \text{ Н} \]

Примечание: Отрицательное значение \( N_A \) указывает, что опора А не поддерживает стержень, а пытается его вытянуть. Однако, по условию задачи, стержень удерживается опорами. Скорее всего, в условии или рисунке есть ошибка, или же опора А является тягой. В данном случае, если принять, что силы реакции опор направлены вверх, то расчет верен, но физически такая ситуация выглядит иначе. Если же предположить, что стержень просто лежит на опорах, то реакция опоры А будет равна 0, а вся нагрузка ляжет на опору В. Но если принять, что задача подразумевает именно такой расчет, то полученные значения можно считать формальными.

Если предположить, что расстояние от опоры А до середины стержня равно 2 м, а расстояние между опорами 2 м, то:

\[ -1000 \text{ Н} \cdot 2 \text{ м} + N_B \cdot 2 \text{ м} = 0 \]

\[ N_B = 1000 \text{ Н} \]

\[ N_A + 1000 \text{ Н} - 1000 \text{ Н} = 0 \]

\[ N_A = 0 \text{ Н} \]

Учитывая ответ в скобках (250 Н; 1250 H), можно предположить, что расстояние от опоры А до конца стержня равно 5 м, а опоры расположены на расстоянии 2 м друг от друга, и сила тяжести приложена к середине стержня. Тогда:

Расстояние от опоры А до середины стержня = \( 5 \text{ м} \) (если опоры расположены не в середине)

Если принять, что расстояние от опоры А до края стержня 5м, а опора В находится на расстоянии 2м от опоры А, и сила тяжести приложена к середине (2.5м от края А), то:

Момент относительно А:

\[ -1000 \text{ Н} \cdot 2.5 \text{ м} + N_B \cdot 2 \text{ м} = 0 \]

\[ N_B = 1250 \text{ Н} \]

Сила реакции опоры А:

\[ N_A + N_B = 1000 \text{ Н} \]

\[ N_A = 1000 \text{ Н} - 1250 \text{ Н} = -250 \text{ Н} \]

Таким образом, согласно приведенному в скобках ответу, силы реакции опор равны 250 Н и 1250 Н. Отрицательное значение для опоры А может означать, что она подвергается натяжению, а не сжатию, или же в условии подразумевается, что опоры расположены иначе. Принимая во внимание данные в скобках, будем считать, что силы равны 250 Н и 1250 Н.

Ответ: силы реакции опор равны 250 Н и 1250 Н.