№ 3 (4 балла) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке a) y = (1/5)^x, [-2; 3] б) y = log_3 x, [1/27; 9]

Решение:

а) Найдем наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \left(\frac{1}{5}\right)^x \) на отрезке \( [-2; 3] \).

Данная функция является показательной с основанием \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < a < 1 \), функция является убывающей. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

1. Вычислим значение функции в левой границе отрезка:



\[ y(-2) = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25 \]



2. Вычислим значение функции в правой границе отрезка:



\[ y(3) = \left(\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{1}{125} \]

Сравним полученные значения: \( 25 > \frac{1}{125} \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 25, наименьшее значение равно \(\frac{1}{125}\).

б) Найдем наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \log_3 x \) на отрезке \( \left[\frac{1}{27}; 9\right] \).

Данная функция является логарифмической с основанием \( a = 3 \). Так как \( a > 1 \), функция является возрастающей. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

1. Вычислим значение функции в левой границе отрезка:



\[ y\left(\frac{1}{27}\right) = \log_3 \left(\frac{1}{27}\right) = \log_3 (3^{-3}) = -3 \]



2. Вычислим значение функции в правой границе отрезка:



\[ y(9) = \log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2 \]

Сравним полученные значения: \( -3 < 2 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно -3.