3. (3 балла) Решите неравенство: 1) $$81^{-x} ≥ \left(\frac{1}{9}\right)^{3x+2}$$; 2) $$(x-4)(3-2x) > 0$$; 3) $$\log_{2}(4x-1) < -2$$ 4) $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x-5} = \frac{81}{16}$$

Решение:

1) $$81^{-x} \ge \left(\frac{1}{9}\right)^{3x+2}$$

1. Приведём обе части неравенства к основанию 3: \( (3^4)^{-x} \ge \left((3^2)^{-1}\right)^{3x+2} \)
2. Упростим: \( 3^{-4x} \ge 3^{-2(3x+2)} \)
3. Сравним показатели степени, так как основание \( 3 > 1 \): \( -4x \ge -2(3x+2) \)
4. Раскроем скобки: \( -4x \ge -6x - 4 \)
5. Перенесём члены с \( x \) в левую часть: \( -4x + 6x \ge -4 \)
6. Упростим: \( 2x \ge -4 \)
7. Разделим на 2: \( x \ge -2 \)

2) $$(x-4)(3-2x) > 0$$

1. Определим корни квадратного трёхчлена: \( x-4 = 0 \Rightarrow x = 4 \) и \( 3-2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).
2. Рассмотрим знаки произведения на интервалах:
• При \( x < \frac{3}{2} \) (например, \( x=0 \)): \( (0-4)(3-0) = (-4)(3) = -12 < 0 \)
• При \( \frac{3}{2} < x < 4 \) (например, \( x=2 \)): \( (2-4)(3-2(2)) = (-2)(3-4) = (-2)(-1) = 2 > 0 \)
• При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( (5-4)(3-2(5)) = (1)(3-10) = (1)(-7) = -7 < 0 \)
3. Неравенство выполняется при \( \frac{3}{2} < x < 4 \).

3) $$\log_{2}(4x-1) < -2$$

1. Определим область допустимых значений: \( 4x-1 > 0 \Rightarrow 4x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{4} \).
2. Преобразуем неравенство, используя определение логарифма: \( 4x-1 < 2^{-2} \)
3. Вычислим степень: \( 4x-1 < \frac{1}{4} \)
4. Решим неравенство: \( 4x < 1 + \frac{1}{4} \Rightarrow 4x < \frac{5}{4} \Rightarrow x < \frac{5}{16} \).
5. Учтём область допустимых значений: \( x > \frac{1}{4} \) и \( x < \frac{5}{16} \). Так как \( \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \), то \( \frac{4}{16} < x < \frac{5}{16} \).

4) $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x-5} = \frac{81}{16}$$

1. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием \( \frac{3}{2} \): \( \frac{81}{16} = \frac{3^4}{2^4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 \).
2. Уравнение примет вид: \( \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 \)
3. Приравняем показатели степеней: \( 2x-5 = 4 \)
4. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x = 4+5 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2} \).

Ответ: 1) $$x \ge -2$$; 2) $$\frac{3}{2} < x < 4$$; 3) $$\frac{1}{4} < x < \frac{5}{16}$$; 4) $$x = \frac{9}{2}$$.