3^{2x-1} + 3^{2x} = 108

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, воспользуемся свойствами степеней.

1. Вынесем общий множитель \( 3^{2x-1} \) за скобки: \( 3^{2x-1} + 3^{2x} = 3^{2x-1} + 3^{2x-1} \cdot 3^1 = 3^{2x-1} \left( 1 + 3 \right) \)
2. Упростим выражение в скобках: \( 1 + 3 = 4 \).
3. Получим уравнение: \( 3^{2x-1} \cdot 4 = 108 \).
4. Разделим обе части уравнения на 4: \( 3^{2x-1} = \frac{108}{4} \).
5. Вычислим правую часть: \( \frac{108}{4} = 27 \).
6. Теперь уравнение выглядит так: \( 3^{2x-1} = 27 \).
7. Представим 27 как степень тройки: \( 27 = 3^3 \).
8. Приравниваем показатели степеней: \( 2x - 1 = 3 \).
9. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x = 3 + 1 \) \( 2x = 4 \) \( x = \frac{4}{2} \) \( x = 2 \).

Ответ: x = 2.