3.2. Маселени чыгаргыла. 30 км болгон аралыкты, эки лыжачандын бири экинчисине караганда 20 мүнөткө ылдам басып өттү. Биринчи лыжачандын ылдамдыгы, экинчисинин ылдамдыгына караганда 3 км/саатка чоң болгон. Ар бир лыжачандын ылдамдыгы кандай?

Решение:

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого лыжника (км/ч)
• \( v_2 \) — скорость второго лыжника (км/ч)
• \( t_1 \) — время первого лыжника (ч)
• \( t_2 \) — время второго лыжника (ч)

Из условия задачи известно:

• Расстояние \( S = 30 \) км.
• \( v_1 = v_2 + 3 \) км/ч
• \( t_2 - t_1 = 20 \) минут = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа

Мы знаем, что \( S = v \cdot t \), следовательно \( t = \frac{S}{v} \).

Подставим это в уравнение разницы во времени:

\( \frac{30}{v_2} - \frac{30}{v_1} = \frac{1}{3} \)

Заменим \( v_1 \) на \( v_2 + 3 \):

\( \frac{30}{v_2} - \frac{30}{v_2 + 3} = \frac{1}{3} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{30(v_2 + 3) - 30v_2}{v_2(v_2 + 3)} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{30v_2 + 90 - 30v_2}{v_2^2 + 3v_2} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{90}{v_2^2 + 3v_2} = \frac{1}{3} \)

Перекрёстное умножение:

\( v_2^2 + 3v_2 = 90 \cdot 3 \)

\( v_2^2 + 3v_2 = 270 \)

\( v_2^2 + 3v_2 - 270 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33 \)

Найдем \( v_2 \):

\( v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 33}{2} \)

\( v_2 = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч

\( v_2 = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \) км/ч (этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Теперь найдём \( v_1 \):

\( v_1 = v_2 + 3 = 15 + 3 = 18 \) км/ч

Проверим время:

\( t_1 = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \) часа

\( t_2 = \frac{30}{15} = 2 \) часа

\( t_2 - t_1 = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \) часа, что равно 20 минутам.

Ответ: Скорость первого лыжника — 18 км/ч, скорость второго лыжника — 15 км/ч.