3.10. Докажите, что в равностороннем треугольнике: а) все углы равны; б) биссектриса, медиана и высота, проведённые из любой вершины, совпадают; в) все биссектрисы равны; г) все медианы равны; д) все высоты равны.

Пусть дан равносторонний треугольник ABC: AB = BC = CA.

а) Рассмотрим треугольники ABC и ACB. У них соответственно равны три стороны, поэтому треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, соответствующие углы равны: ∠A = ∠B = ∠C. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то каждый угол равен 60°.

б) Пусть AD — медиана к стороне BC. Тогда BD = DC. В треугольниках ABD и ACD имеем: AB = AC, BD = DC, AD — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому ∠BAD = ∠DAC, то есть AD — биссектриса. Кроме того, ∠ADB = ∠ADC, а эти углы смежные, значит каждый из них равен 90°. Следовательно, AD — высота. Таким образом, медиана, биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, совпадают. То же верно для любой вершины.

в) По пункту б) каждая биссектриса одновременно является высотой. Высоты равны, поскольку они проведены к равным сторонам равностороннего треугольника. Следовательно, все биссектрисы равны.

г) По пункту б) каждая медиана одновременно является высотой. Так как все высоты равны, то все медианы равны.

д) Все высоты равны, так как каждая из них является медианой, а в равностороннем треугольнике медианы равны.

Ответ: в равностороннем треугольнике все углы равны и равны 60°; из каждой вершины биссектриса, медиана и высота совпадают; все биссектрисы, медианы и высоты соответственно равны.