(2x²+3y³)(3y³-2x²) при x⁴ = 1/2, y² = 2.

Решение:

Подставим данные значения \( x \) и \( y \) в выражение.

1. Сначала найдём значения \( x^2 \) и \( y^3 \).
• Дано \( x^4 = \frac{1}{2} \). Тогда \( x^2 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Дано \( y^2 = 2 \). Тогда \( y = \pm\sqrt{2} \).
• \( y^3 = y^2 \cdot y = 2 \cdot (\pm\sqrt{2}) = \pm 2\sqrt{2} \).
2. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \( (2x^2+3y^3)(3y^3-2x^2) \)
• \( 2x^2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
• \( 3y^3 = 3 \cdot (\pm 2\sqrt{2}) = \pm 6\sqrt{2} \)
3. Подставляем в первое скобку: \( 2x^2+3y^3 = \sqrt{2} + (\pm 6\sqrt{2}) \).
4. Подставляем во вторую скобку: \( 3y^3-2x^2 = (\pm 6\sqrt{2}) - \sqrt{2} \).
5. Произведём умножение. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( y = \sqrt{2} \) (тогда \( y^3 = 2\sqrt{2} \))
• \( (2x^2+3y^3) = \sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
• \( (3y^3-2x^2) = 6\sqrt{2} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• Произведение: \( 7\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 35 \cdot 2 = 70 \)
• Случай 2: \( y = -\sqrt{2} \) (тогда \( y^3 = -2\sqrt{2} \))
• \( (2x^2+3y^3) = \sqrt{2} - 6\sqrt{2} = -5\sqrt{2} \)
• \( (3y^3-2x^2) = -6\sqrt{2} - \sqrt{2} = -7\sqrt{2} \)
• Произведение: \( -5\sqrt{2} \cdot (-7\sqrt{2}) = 35 \cdot 2 = 70 \)
6. В обоих случаях результат одинаков.

Ответ: 70.