2sin(x)sin(2x - 4π/2) = 4cos(3π/2 + x) + √3sin(2x)

Решение:

Давай разберем это тригонометрическое уравнение шаг за шагом.

1. Преобразуем левую часть:
   Используем формулу синуса разности аргументов: \[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]
   В нашем случае: \[ \sin(2x - \frac{4\pi}{2}) = \sin(2x - 2\pi) \]
   Поскольку синус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), то \[ \sin(2x - 2\pi) = \sin(2x) \]
   Теперь левая часть уравнения выглядит так: \[ 2\sin x \sin(2x) \]
   Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \]
   Подставляем: \[ 2 \sin x (2 \sin x \cos x) = 4 \sin^2 x \cos x \]
2. Преобразуем правую часть:
   Используем формулу косинуса суммы аргументов: \[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]
   В нашем случае: \[ \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \cos(\frac{3\pi}{2}) \cos x - \sin(\frac{3\pi}{2}) \sin x \]
   Знаем, что \[ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \] и \[ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \]
   Подставляем: \[ 0 \cdot \cos x - (-1) \cdot \sin x = \sin x \]
   Теперь правая часть уравнения: \[ 4 \sin x + \sqrt{3} \sin(2x) \]
   Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \]
   Подставляем: \[ 4 \sin x + \sqrt{3} (2 \sin x \cos x) = 4 \sin x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x \]
3. Составляем новое уравнение:
   Приравниваем преобразованные левую и правую части: \[ 4 \sin^2 x \cos x = 4 \sin x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x \]
4. Решаем уравнение:
   Переносим все в одну сторону: \[ 4 \sin^2 x \cos x - 4 \sin x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x = 0 \]
   Выносим общий множитель \[ 2 \sin x \]: \[ 2 \sin x (2 \sin x \cos x - 2 - \sqrt{3} \cos x) = 0 \]
   Это дает два случая:
   1. Случай 1: \[ 2 \sin x = 0 \] \[ \sin x = 0 \] \[ x = \pi k \], где \[ k \in \mathbb{Z} \]
   2. Случай 2: \[ 2 \sin x \cos x - 2 - \sqrt{3} \cos x = 0 \]
      Используем формулу двойного угла: \[ \sin(2x) - 2 - \sqrt{3} \cos x = 0 \]
   Примечание: дальнейшее решение второго случая требует более сложных тригонометрических преобразований или численных методов. В рамках школьной программы обычно ограничиваются случаями, приводящими к простейшим уравнениям.

Ответ: \[ x = \pi k \], где \[ k \in \mathbb{Z} \]