2sin^2x - 7sin(pi/2 - x) = 0

Решение:

Данное уравнение содержит тригонометрические функции. Преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

1. Используем формулу приведения: \( \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( 2\sin^2(x) - 7\cos(x) = 0 \).
3. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), откуда \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \).
4. Подставим это в уравнение: \( 2(1 - \cos^2(x)) - 7\cos(x) = 0 \).
5. Раскроем скобки: \( 2 - 2\cos^2(x) - 7\cos(x) = 0 \).
6. Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно \( \cos(x) \): \( 2\cos^2(x) + 7\cos(x) - 2 = 0 \).
7. Пусть \( y = \cos(x) \). Тогда уравнение примет вид: \( 2y^2 + 7y - 2 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 49 + 16 = 65 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ y_1 = \frac{-7 + \sqrt{65}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + \sqrt{65}}{4} \]

\[ y_2 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - \sqrt{65}}{4} \]

Теперь вернемся к замене \( y = \cos(x) \):

• \( \cos(x) = \frac{-7 + \sqrt{65}}{4} \).
• \( \cos(x) = \frac{-7 - \sqrt{65}}{4} \).

Значение \( \sqrt{65} \) примерно равно \( 8.06 \).

Рассмотрим первый случай: \( \cos(x) = \frac{-7 + 8.06}{4} = \frac{1.06}{4} < 1 \). Это значение находится в пределах допустимых значений косинуса (от -1 до 1).

Следовательно, \( x = \pm \arccos(\frac{-7 + \sqrt{65}}{4}) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим второй случай: \( \cos(x) = \frac{-7 - 8.06}{4} = \frac{-15.06}{4} = -3.765 \). Это значение меньше -1, что невозможно для косинуса.

Таким образом, единственный набор решений получается из первого случая.

Ответ: \( x = \pm \arccos(\frac{-7 + \sqrt{65}}{4}) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).