297. Решая задачи 219 (1) и 219 (2), вы нашли значения числовых выражений 1 + 2 + 3 + ... + 10 и 1 + 2 + 3 + ... + 100. Заметим, что к тем же результатам можно прийти, найдя значения выражений (11 · 10) : 2 и (101 · 100) : 2 соответственно. Выскажите гипотезу, по какой формуле можно найти значение S выражения 1 + 2 + 3 + ... + n, где n — любое натуральное число, большее 1. Проверьте свою гипотезу для: 1) n = 15; 2) n = 20; 3) n = 30.

Обозначим сумму через \(S=1+2+3+\ldots+n\). Запишем ту же сумму в обратном порядке и сложим записи почленно:

\(S=1+2+3+\ldots+n\),
\(S=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+1\).

Каждая из \(n\) пар при сложении равна \(n+1\), поэтому \(2S=n(n+1)\). Отсюда гипотеза:

\(S=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

1. При \(n=15\): \(S=\dfrac{15\cdot16}{2}=120\).
2. При \(n=20\): \(S=\dfrac{20\cdot21}{2}=210\).
3. При \(n=30\): \(S=\dfrac{30\cdot31}{2}=465\).

Ответ: \(S=\dfrac{n(n+1)}{2}\); при \(n=15,20,30\) суммы равны соответственно 120, 210 и 465.