292 Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми а и р было равно АВ. Решение: Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую ь, перпендикулярную к прямой а (рис. 148). Затем на одном из лучей прямой ь, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой b. Прямая р — искомая (объясните почему). Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р₁ на рисунке 149).

Решение задачи 292:

Задача: Построить прямую p, параллельную данной прямой a, так, чтобы расстояние между ними было равно длине данного отрезка AB.

1. Шаг 1: Построение перпендикуляра. На прямой a выбираем произвольную точку C. Через точку C проводим прямую b, перпендикулярную к прямой a. (Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку или используя свойства прямоугольного треугольника).
2. Шаг 2: Откладывание отрезка. На прямой b, начиная от точки C, откладываем отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AB. Есть два возможных направления для откладывания отрезка (на луче, исходящем из C), что в дальнейшем приведет к двум решениям.
3. Шаг 3: Построение искомой прямой. Через точку D проводим прямую p, перпендикулярную к прямой b.

Объяснение, почему прямая p — искомая:

По построению, прямая b перпендикулярна как прямой a, так и прямой p (поскольку p перпендикулярна b, а b перпендикулярна a, значит p параллельна a). Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую. В нашем случае, отрезок CD является таким перпендикуляром, и его длина равна длине отрезка AB по условию построения.

Два решения:

Поскольку отрезок CD можно отложить на прямой b в двух противоположных направлениях от точки C, то получим две точки D (назовем их D₁ и D₂). Через каждую из этих точек проведя перпендикуляр к прямой b, мы получим две искомые прямые p₁ и p₂, параллельные прямой a и находящиеся на расстоянии AB от нее.