291. Двигаясь 3 ч по течению и 4 ч против течения, катер прошёл 120 км. Тот же катер за 2 ч против течения пройдёт на 30 км мень- ше, чем за 3 ч по течению. Найдите скорость катера по течению и его скорость против течения.

Решение задачи 291:

Обозначим скорость катера по течению как v (км/ч), а скорость катера против течения как u (км/ч).

Первое условие:

Катер двигался 3 часа по течению и 4 часа против течения, преодолев в сумме 120 км.

Расстояние = Скорость × Время

По течению: 3v

Против течения: 4u

Составляем уравнение: 3v + 4u = 120

Второе условие:

За 2 часа против течения катер пройдёт на 30 км меньше, чем за 3 часа по течению.

Расстояние за 2 часа против течения: 2u

Расстояние за 3 часа по течению: 3v

Составляем уравнение: 2u = 3v – 30

Система уравнений:

• \[ \begin{cases} 3v + 4u = 120 \\ 2u = 3v - 30 \end{cases} \]

Решаем систему:

1. Из второго уравнения выразим 3v: 3v = 2u + 30.
2. Подставим это выражение для 3v в первое уравнение: (2u + 30) + 4u = 120.
3. Решаем полученное уравнение относительно u:
• 6u + 30 = 120
• 6u = 120 – 30
• 6u = 90
• u = 90 / 6
• u = 15 (км/ч) — скорость катера против течения.
4. Теперь найдём скорость катера по течению (v), используя выражение 3v = 2u + 30:
• 3v = 2 × 15 + 30
• 3v = 30 + 30
• 3v = 60
• v = 60 / 3
• v = 20 (км/ч) — скорость катера по течению.

Проверка:

По течению за 3 часа: 3 × 20 = 60 км.

Против течения за 4 часа: 4 × 15 = 60 км.

Общее расстояние: 60 + 60 = 120 км (верно).

За 2 часа против течения: 2 × 15 = 30 км.

На 30 км меньше, чем за 3 часа по течению (60 км): 60 – 30 = 30 км (верно).

Ответ: Скорость катера по течению — 20 км/ч, скорость катера против течения — 15 км/ч.