29) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем пирамиды, если боковое ребро равно 10 см.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании. Боковое ребро \(l = 10\) см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен \( \alpha = 60^{\circ} \).

Для нахождения объёма пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \) нам нужно найти площадь основания \( S_{осн} \) и высоту \( H \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), высотой пирамиды \( H \) и половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \). В этом треугольнике угол между гипотенузой (боковым ребром) и катетом (половиной диагонали) равен \( \alpha = 60^{\circ} \).

Из определения косинуса имеем:

\( \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d/2}{l} \)

\( \frac{d}{2} = l \cos \alpha = 10 \cdot \cos 60^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Диагональ основания \( d = 2 \cdot 5 = 10 \) см.

Поскольку основание — квадрат, диагональ квадрата связана со стороной \( a \) соотношением \( d = a\sqrt{2} \).

\( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \) см.

Площадь основания:

\( S_{осн} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \) см².

Теперь найдём высоту \( H \) из того же прямоугольного треугольника:

\( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{H}{l} \)

\( H = l \sin \alpha = 10 \cdot \sin 60^{\circ} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Теперь можем найти объём пирамиды:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3} \) см³.

Ответ: \( \frac{250\sqrt{3}}{3} \) см³.