283. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника ABC.

Пусть \(AB\) — основание равнобедренного треугольника \(ABC\), поэтому \(AC=BC\). Из точки \(M\) к боковым сторонам проведём перпендикуляры \(MH\perp AC\) и \(MK\perp BC\). По условию \(MH=MK\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(CMH\) и \(CMK\). У них общая гипотенуза \(CM\) и равные катеты \(MH=MK\). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда \(\angle HCM=\angle MCK\), то есть прямая \(CM\) является биссектрисой угла \(ACB\).

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине одновременно является медианой и высотой к основанию. Следовательно, \(CM\perp AB\).

Следовательно, \(CM\) — высота треугольника \(ABC\).