28. Вычислить: 6) (\(\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\))² + (\(\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}\))²

Краткое пояснение:

Для вычисления данного выражения будем использовать формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Также будем использовать тот факт, что \( i^2 = -1 \). Заметим, что выражения в скобках являются комплексными числами в тригонометрической форме, но для решения достаточно алгебраических преобразований.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вычислим первую часть: \( (\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2})^2 \).
2. Шаг 2: Применим формулу квадрата суммы: \( (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{i\sqrt{3}}{2} + (\frac{i\sqrt{3}}{2})^2 \).
3. Шаг 3: Выполним вычисления: \( \frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{2} + \frac{i^2 \cdot 3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = (\frac{1}{4} - \frac{3}{4}) + \frac{i\sqrt{3}}{2} = -\frac{2}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2} \).
4. Шаг 4: Вычислим вторую часть: \( (\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2})^2 \).
5. Шаг 5: Применим формулу квадрата разности: \( (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{i\sqrt{3}}{2} + (\frac{i\sqrt{3}}{2})^2 \).
6. Шаг 6: Выполним вычисления: \( \frac{1}{4} - \frac{i\sqrt{3}}{2} + \frac{i^2 \cdot 3}{4} = \frac{1}{4} - \frac{i\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = (\frac{1}{4} - \frac{3}{4}) - \frac{i\sqrt{3}}{2} = -\frac{2}{4} - \frac{i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2} \).
7. Шаг 7: Сложим результаты двух частей: \( (- \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}) + (- \frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}) \).
8. Шаг 8: Объединим действительные и мнимые части: \( (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{i\sqrt{3}}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}) = -1 + 0 = -1 \).

Ответ: -1