28. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ + 63x² на отрезке [-1,1]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 2x^3 + 63x^2 \) на отрезке \( [-1, 1] \), необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = (2x^3 + 63x^2)' = 6x^2 + 126x \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю: \( 6x^2 + 126x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель: \( 6x(x + 21) = 0 \).
4. Получаем два решения: \( x = 0 \) и \( x = -21 \).
5. Отметим, что \( x = 0 \) принадлежит отрезку \( [-1, 1] \), а \( x = -21 \) — нет.
6. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:
• При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 + 63(-1)^2 = -2 + 63 = 61 \).
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 2(0)^3 + 63(0)^2 = 0 \).
• При \( x = 1 \): \( y(1) = 2(1)^3 + 63(1)^2 = 2 + 63 = 65 \).
7. Сравним полученные значения: \( 0, 61, 65 \).

Наибольшее значение функции равно \( 65 \), а наименьшее — \( 0 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 65, наименьшее значение равно 0.