272. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 4 даёт остаток 3, при делении на 5 даёт остаток 4, при делении на 6 даёт остаток 5, при делении на 7 даёт остаток 6, а при делении на 8 даёт остаток 7.

Во всех случаях остаток на 1 меньше делителя. Значит, искомое число на 1 больше числа, которое делится без остатка на все числа от 2 до 8.

Найдём наименьшее общее кратное:

\(\operatorname{НОК}(2,3,4,5,6,7,8)=2^3\cdot3\cdot5\cdot7=840\).

Следовательно, искомое число имеет вид \(840k-1\). Для наименьшего натурального числа берём \(k=1\):

\(840-1=839\).

Проверка: при делении 839 на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 получаются остатки соответственно 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Ответ: 839.