Решение:
НЕ пишется слитно с существительными и прилагательными, если они образуют новое слово с противоположным значением или если без НЕ слово не употребляется. В данном случае ищем прилагательное, которое без НЕ не употребляется.
- (Не)доедала кашу, чтобы остатки отдать щенку. — Глагол, пишется раздельно.
- Теперь (не)легкое беспокойство, а нечто похожее на тревогу обуяло меня. — Прилагательное, есть противопоставление с союзом 'а', пишется раздельно.
- Остался ящик с рукописями, никому (не) нужными. — Прилагательное, есть противопоставление с союзом 'а', пишется раздельно.
- Чего только (не) услышишь, когда все матросы соберутся в кубрике. — Глагол, пишется раздельно.
- В книге рассказано о судьбе (не)счастной старухи. — Прилагательное, образует новое слово с противоположным значением (несчастная = очень печальная). Пишется слитно.
Ответ: 5