268. Упростите выражение: а) \(\frac{x^2 - 9x^2}{x^2 + 9x + 6x}\) : \(\frac{9x^2 - 1}{x^2 - 9}\)

Решение:

а) Упрощение выражения:

1. Упростим числитель первой дроби:
   \( x^2 - 9 = -8x^2 \)
2. Упростим знаменатель первой дроби:
   \( x^2 + 9 + 6x = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)
3. Первая дробь:
   \( \frac{-8x^2}{(x + 3)^2} \)
4. Разложим на множители числитель второй дроби:
   \( 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1) \)
5. Разложим на множители знаменатель второй дроби (разность квадратов):
   \( x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) \)
6. Вторая дробь:
   \( \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} \)
7. Теперь выполним деление (умножим первую дробь на перевернутую вторую):
   \( \frac{-8x^2}{(x + 3)^2} : \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{-8x^2}{(x + 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} \)
8. Сократим \( (x + 3) \):
   \( \frac{-8x^2}{(x + 3)\cancel{(x + 3)}} \cdot \frac{(x - 3)}{\cancel{(3x - 1)(3x + 1)}} = \frac{-8x^2(x - 3)}{(x + 3)(3x - 1)(3x + 1)} \)
9. Можно переписать знаменатель как \( (x+3)(9x^2-1) \)

Ответ: $$\frac{-8x^2(x - 3)}{(x + 3)(3x - 1)(3x + 1)}$$