267. Сократите дробь: а) \(\frac{144a^2 - 25b^2}{25b^2 - 120ab + 144a^2}\) ; 6) \(\frac{a^2 - 16}{2ab - 8b}\) \(\cdot\) \(\frac{2ab - 3b - 10a + 15}{b^2 - 25}\)

Решение:

а) Сокращение дроби:

1. Разложим числитель на множители (разность квадратов):
   \( 144a^2 - 25b^2 = (12a)^2 - (5b)^2 = (12a - 5b)(12a + 5b) \)
2. Разложим знаменатель на множители (квадрат разности):
   \( 25b^2 - 120ab + 144a^2 = (5b)^2 - 2 \cdot 5b \cdot 12a + (12a)^2 = (5b - 12a)^2 \)
3. Заметим, что \( (5b - 12a)^2 = (-(12a - 5b))^2 = (12a - 5b)^2 \).
4. Сокращаем дробь:
   \( \frac{(12a - 5b)(12a + 5b)}{(5b - 12a)^2} = \frac{(12a - 5b)(12a + 5b)}{(12a - 5b)^2} = \frac{12a + 5b}{12a - 5b} \)

б) Упрощение выражения:

1. Разложим знаменатели и числители на множители:
   \( a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4) \)
   \( 2ab - 8b = 2b(a - 4) \)
   \( 2ab - 3b - 10a + 15 = b(2a - 3) - 5(2a - 3) = (b - 5)(2a - 3) \)
   \( b^2 - 25 = (b - 5)(b + 5) \)
2. Подставим разложенные выражения в дробь:
   \( \frac{(a - 4)(a + 4)}{2b(a - 4)} \cdot \frac{(b - 5)(2a - 3)}{(b - 5)(b + 5)} \)
3. Сократим одинаковые множители:
   \( \frac{\cancel{(a - 4)}(a + 4)}{2b\cancel{(a - 4)}} \cdot \frac{\cancel{(b - 5)}(2a - 3)}{\cancel{(b - 5)}(b + 5)} = \frac{a + 4}{2b} \cdot \frac{2a - 3}{b + 5} \)
4. Перемножим оставшиеся множители:
   \( \frac{(a + 4)(2a - 3)}{2b(b + 5)} \)

Ответ: а) $$\frac{12a + 5b}{12a - 5b}$$

Ответ: б) $$\frac{(a + 4)(2a - 3)}{2b(b + 5)}$$