26. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота СН равна 24, ВН = 7. Найдите sin A.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^{\circ} \)) высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и BH. По условию задачи, \( CH = 24 \) и \( BH = 7 \).

Мы знаем, что квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\( CH^2 = AH \cdot BH \)

Подставим известные значения:

\( 24^2 = AH \cdot 7 \)

\( 576 = AH \cdot 7 \)

\( AH = \frac{576}{7} \)

Теперь найдём гипотенузу AB:

\( AB = AH + BH = \frac{576}{7} + 7 = \frac{576 + 49}{7} = \frac{625}{7} \)

Чтобы найти \( \sin A \), воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике ABC:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Сначала найдём длину катета BC. В прямоугольном треугольнике CHB:

\( BC^2 = CH^2 + BH^2 \)

\( BC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 \)

\( BC = \sqrt{625} = 25 \)

Теперь мы можем найти \( \sin A \):

\( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{25}{\frac{625}{7}} = 25 \cdot \frac{7}{625} = \frac{25 \cdot 7}{25 \cdot 25} = \frac{7}{25} \)

Ответ: \( \sin A = \frac{7}{25} \).