26. На рисунке изображена система грузов массами m₁ = 3 кг и m₂ = 1 кг, связанных невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения между грузом m₁ и наклонной плоскостью 0,1. Определите силу натяжения нити. Какие законы вы использовали для описания движения грузов? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Решение:

Для решения данной задачи используем второй закон Ньютона для каждого груза.

1. Анализ сил, действующих на груз m₂:

• Сила тяжести: \( F_{T2} = m_2 g \) (направлена вниз).
• Сила натяжения нити: \( T \) (направлена вверх).

Так как груз m₂ движется вниз (предполагаем, что система движется), второй закон Ньютона для m₂ будет:

\[ m_2 g - T = m_2 a \]

2. Анализ сил, действующих на груз m₁:

• Сила тяжести: \( F_{T1} = m_1 g \) (направлена вниз).
• Сила реакции опоры: \( N \) (направлена перпендикулярно наклонной плоскости).
• Сила трения: \( F_{тр} \) (направлена против движения, т.е. вверх по наклонной плоскости).
• Сила натяжения нити: \( T \) (направлена вдоль наклонной плоскости вверх).

Разложим силу тяжести \( m_1 g \) на компоненты:

• Перпендикулярно плоскости: \( m_1 g \text{ cos} \text{α} \)
• Параллельно плоскости: \( m_1 g \text{ sin} \text{α} \)

Второй закон Ньютона для m₁:

• По оси перпендикулярной плоскости: \( N - m_1 g \text{ cos} \text{α} = 0 \rightarrow N = m_1 g \text{ cos} \text{α} \)
• По оси параллельной плоскости (вдоль движения): \( T - F_{тр} - m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a \)

Сила трения скольжения равна: \( F_{тр} = \text{μ} N = \text{μ} m_1 g \text{ cos} \text{α} \)

Подставим выражение для \( F_{тр} \) во второе уравнение:

\[ T - \text{μ} m_1 g \text{ cos} \text{α} - m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a \]

3. Система уравнений:

У нас есть два уравнения и две неизвестные \( T \) и \( a \) (ускорение системы):

1. \( m_2 g - T = m_2 a \)
2. \( T - \text{μ} m_1 g \text{ cos} \text{α} - m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a \)

Из первого уравнения выразим \( T \): \( T = m_2 g - m_2 a \)

Подставим \( T \) во второе уравнение:

\[ (m_2 g - m_2 a) - \text{μ} m_1 g \text{ cos} \text{α} - m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a \]

4. Находим ускорение \( a \):

\[ m_2 g - \text{μ} m_1 g \text{ cos} \text{α} - m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a + m_2 a \]\[ a (m_1 + m_2) = g (m_2 - m_1 \text{ sin} \text{α} - \text{μ} m_1 \text{ cos} \text{α}) \]\[ a = \frac{g (m_2 - m_1 \text{ sin} \text{α} - \text{μ} m_1 \text{ cos} \text{α})}{m_1 + m_2} \]

5. Вычисляем ускорение (при \( g = 10 \text{ м/с}^2 \)):

Дано: \( m_1 = 3 \text{ кг} \), \( m_2 = 1 \text{ кг} \), \( \text{α} = 30^\text{°} \), \( \text{μ} = 0.1 \).

\( \text{sin} 30^\text{°} = 0.5 \)

\( \text{cos} 30^\text{°} = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866 \)

\[ a = \frac{10 (1 - 3 · 0.5 - 0.1 · 3 · 0.866)}{3 + 1} \]\[ a = \frac{10 (1 - 1.5 - 0.2598)}{4} \]\[ a = \frac{10 (-1.7598)}{4} = -4.3995 \text{ м/с}^2 \]

6. Определяем силу натяжения нити \( T \):

Поскольку ускорение получилось отрицательным, это означает, что наше первоначальное предположение о направлении движения было неверным. Груз \( m_1 \) будет двигаться вниз по наклонной плоскости, а \( m_2 \) — вверх.

Для \( m_1 \) уравнение движения будет:

\[ T + F_{тр} + m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a \] (где \( a \) — положительное ускорение, направленное вниз по плоскости, а \( F_{тр} \) направлена вверх, против движения)

Или, если брать ось направленной вверх по плоскости, а \( a \) — отрицательное ускорение (как мы получили):

\[ T - F_{тр} - m_1 g \text{ sin} \text{α} = m_1 a \]

Подставим \( a \) из предыдущего расчета (по модулю, но с учетом направления): \( a = 4.4 \text{ м/с}^2 \) (направлено вниз по плоскости).

\[ T = m_2 g + m_2 a \] (для \( m_2 \), движущегося вверх, \( T > m_2 g \))

\[ T = 1 · 10 + 1 · 4.4 \]\[ T = 10 + 4.4 = 14.4 \text{ Н} \]

Проверим по \( m_1 \):

Если \( T = 14.4 \text{ Н} \), то для \( m_1 \) (движение вниз):

\[ m_1 a = m_1 g \text{ sin} \text{α} + F_{тр} - T \]\[ 3 · 4.4 = 3 · 10 · 0.5 + 0.1 · 3 · 10 · 0.866 - 14.4 \]\[ 13.2 = 15 + 2.598 - 14.4 \]\[ 13.2 = 17.598 - 14.4 \]\[ 13.2 = 3.198 \]

Расчеты не сходятся. Пересмотрим направление движения.

Корректное определение направления движения:

Сила, тянущая \( m_2 \) вниз: \( F_{T2} = m_2 g = 1 · 10 = 10 \text{ Н} \).

Сила, тянущая \( m_1 \) вниз по наклонной плоскости: \( F_{1\text{ ||}} = m_1 g \text{ sin} \text{α} = 3 · 10 · \text{sin} 30^\text{°} = 30 · 0.5 = 15 \text{ Н} \).

Максимальная сила трения для \( m_1 \): \( F_{тр.max} = \text{μ} m_1 g \text{ cos} \text{α} = 0.1 · 3 · 10 · \text{cos} 30^\text{°} = 3 · 0.866 = 2.598 \text{ Н} \).

Если \( m_1 \) движется вниз, то ему противодействует сила трения \( F_{тр} = 2.598 \text{ Н} \) вверх. Общая сила, пытающаяся сдвинуть \( m_1 \) вниз, составляет \( 15 \text{ Н} \).

Если \( m_2 \) движется вверх, то его тянет \( T \) и вниз действует \( m_2 g = 10 \text{ Н} \).

Если \( m_1 \) движется вниз, то его тянет \( m_1 g \text{ sin} \text{α} = 15 \text{ Н} \), ему противодействует \( T \) вверх и \( F_{тр} = 2.598 \text{ Н} \) вверх.

Наибольшая сила, стремящаяся вызвать движение, — это \( m_1 g \text{ sin} \text{α} = 15 \text{ Н} \). Следовательно, \( m_1 \) будет двигаться вниз, а \( m_2 \) — вверх.

Уравнения движения:

• Для \( m_1 \) (ось направлена вниз по плоскости): \( m_1 g \text{ sin} \text{α} - F_{тр} - T = m_1 a \)
• Для \( m_2 \) (ось направлена вверх): \( T - m_2 g = m_2 a \)

Подставим значения:

• \( 15 - 2.598 - T = 3a \rightarrow 12.402 - T = 3a \)
• \( T - 10 = 1a \)

Сложим два уравнения:

\[ (12.402 - T) + (T - 10) = 3a + 1a \]\[ 2.402 = 4a \]\[ a = \frac{2.402}{4} = 0.6005 \text{ м/с}^2 \]

7. Находим силу натяжения нити \( T \):

Используем уравнение для \( m_2 \):

\[ T = m_2 g + m_2 a \]\[ T = 1 · 10 + 1 · 0.6005 \]\[ T = 10 + 0.6005 = 10.6005 \text{ Н} \]

8. Ответ на вопрос о законах:

Для описания движения грузов были использованы:

• Законы Ньютона:
• Первый закон Ньютона (Закон инерции): применим для описания состояния покоя или равномерного прямолинейного движения, если сумма всех сил равна нулю. В данном случае, если бы грузы были неподвижны, этот закон описывал бы их состояние.
• Второй закон Ньютона: \( \text{Σ}\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a} \). Этот закон является основным для описания ускоренного движения. Он позволил нам составить уравнения движения для каждого груза, учитывая все действующие силы (силу тяжести, силу натяжения, силу трения, силу реакции опоры).
• Третий закон Ньютона: применим для описания взаимодействия сил между телами. Например, сила, с которой нить действует на блок, равна по модулю силе, с которой блок действует на нить. В данном решении он косвенно используется при рассмотрении сил натяжения.
• Закон всемирного тяготения (определение силы тяжести): \( F = mg \). Определяет силу, с которой Земля притягивает тело.
• Закон Кулона (для силы трения скольжения): \( F_{тр} = \text{μ} N \). Определяет величину силы трения, которая зависит от коэффициента трения и силы нормальной реакции опоры.

Обоснование применимости:

Законы Ньютона применимы к данной системе, так как система состоит из макроскопических тел (грузы), движущихся с ускорением, и рассматриваемые силы (трение, натяжение, тяжести) являются стандартными силами, описываемыми классической механикой. Условие задачи (невесомая и нерастяжимая нить, невесомый блок) позволяет идеализировать систему и применять законы Ньютона в их классическом виде.

Ответ: Сила натяжения нити составляет приблизительно 10.6 Н.