25. В треугольнике АВС угол C равен 90°, высота СН равна 4, BC = √17. Найдите tgA.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов. CH — высота, проведенная к гипотенузе. По условию CH = 4 и BC = \( \sqrt{17} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В нём угол CHB = 90 градусов. По теореме Пифагора найдём BH:

\[ BH^2 + CH^2 = BC^2 \]

\[ BH^2 + 4^2 = (\sqrt{17})^2 \]

\[ BH^2 + 16 = 17 \]

\[ BH^2 = 17 - 16 \]

\[ BH^2 = 1 \]

\[ BH = 1 \]

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH, проведенная к гипотенузе, обладает свойством:

\[ CH^2 = AH \cdot BH \]

Подставим известные значения:

\[ 4^2 = AH \cdot 1 \]

\[ 16 = AH \]

Теперь найдем длину катета AC:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Также, по теореме о среднем геометрическом:

\[ AC^2 = AH \cdot AB \]

Или, используя прямоугольный треугольник ACH:

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]

\[ AC^2 = 16^2 + 4^2 \]

\[ AC^2 = 256 + 16 \]

\[ AC^2 = 272 \]

\[ AC = \sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17} \]

Теперь найдём \( tgA \) в прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \text{tg}A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \]

\[ \text{tg}A = \frac{\sqrt{17}}{4\sqrt{17}} \]

\[ \text{tg}A = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \text{tg}A = \frac{1}{4} \).