25. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота СН равна 4, BC = √17. Найдите tgA.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \).

Высота \( CH = 4 \), \( BC = \sqrt{17} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. \( \angle CHB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора в \( \triangle BCH \):

\[ BH^2 + CH^2 = BC^2 \]\[ BH^2 + 4^2 = (\sqrt{17})^2 \]\[ BH^2 + 16 = 17 \]\[ BH^2 = 17 - 16 = 1 \]\[ BH = 1 \]

По свойству высоты прямоугольного треугольника:

\[ CH^2 = AH \cdot BH \]\[ 4^2 = AH \cdot 1 \]\[ 16 = AH \cdot 1 \]\[ AH = 16 \]

Теперь найдём \( \text{tg} A \) в прямоугольном треугольнике ABC. \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} \).

Сначала найдём AC по теореме Пифагора в \( \triangle ABC \):

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]\[ AB = AH + BH = 16 + 1 = 17 \]\[ AC^2 + (\sqrt{17})^2 = 17^2 \]\[ AC^2 + 17 = 289 \]\[ AC^2 = 289 - 17 = 272 \]\[ AC = \sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17} \]

Теперь найдём \( \text{tg} A \):

\[ \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{17}}{4\sqrt{17}} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \text{tg} A = \frac{1}{4} \).