Обстоятельство — это член предложения, который обозначает признак действия или другого признака и отвечает на вопросы наречий (где? куда? когда? как? почему? зачем? и т.д.). В предложении «Савельич поглядел на меня с глубокой горестью и пошёл за моим долгом» обстоятельство «с глубокой горестью» обозначает образ действия (как поглядел?) и является обстоятельством образа действия.
Ответ: с глубокой горестью (обстоятельство образа действия).