24. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом с известны катеты: АС=6, ВС=8. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) в прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), воспользуемся формулой:

\( r = \frac{a + b - c}{2} \)

Где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза.

1. Найдем длину гипотенузы \( c = AB \) по теореме Пифагора: \( c^2 = AC^2 + BC^2 \)
2. \( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
3. \( c = \sqrt{100} = 10 \)
4. Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу радиуса:
5. \( r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 2.