238. Изобразите схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то сколько: а) \(\begin{cases}y=x^2,\\xy=-12;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}y=x^2+8,\\y=-x^2+12;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}y=x^2+1,\\xy=3;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}x^2+y^2=9,\\(x-10)^2+y^2=16.\end{cases}\)

а) Графики — парабола \(y=x^2\) и гипербола \(xy=-12\).

В точке пересечения \(y=x^2\), поэтому \(x\cdot x^2=-12\), откуда \(x^3=-12\). Следовательно, \(x=-\sqrt[3]{12}\), а \(y=x^2=\sqrt[3]{144}\). Система имеет одно решение.

б) Приравняем правые части:

\(x^2+8=-x^2+12\).

\(2x^2=4\), поэтому \(x^2=2\), \(x=\pm\sqrt2\). Для обоих значений \(y=10\). Система имеет два решения: \((-\sqrt2;10)\) и \((\sqrt2;10)\).

в) Подставим \(y=x^2+1\) в уравнение \(xy=3\):

\(x(x^2+1)=3\), то есть \(x^3+x-3=0\).

Функция \(x^3+x-3\) строго возрастает, поэтому имеет ровно один действительный корень: \(x\approx1.213\). Тогда \(y=x^2+1\approx2.472\). Система имеет одно решение, приблизительно \((1.213;2.472)\).

г) Первое уравнение задаёт окружность с центром \(O_1(0;0)\) и радиусом \(3\). Второе уравнение задаёт окружность с центром \(O_2(10;0)\) и радиусом \(4\).

Расстояние между центрами равно \(10\), а сумма радиусов равна \(3+4=7\). Так как \(10>7\), окружности не пересекаются. Система решений не имеет.

Ответ: а) 1 решение; б) 2 решения; в) 1 решение; г) решений нет.