23. Вершины треугольника делят описанную около окружность на три дуги, длины которых относятся как 1:2:3. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 1.

Решение:

Пусть длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, относятся как \( k : 2k : 3k \). Сумма длин всех дуг составляет полную окружность, то есть \( k + 2k + 3k = 6k \).

Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, относятся так же, как и длины дуг. Пусть \( \alpha, \beta, \gamma \) — центральные углы, тогда \( \alpha : \beta : \gamma = 1:2:3 \). Сумма центральных углов равна \( 360^{\circ} \).

\( \alpha = \frac{1}{6} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} \)

\( \beta = \frac{2}{6} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} \)

\( \gamma = \frac{3}{6} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ} \)

Треугольник, вписанный в окружность, имеет стороны, связанные с центральными углами. Сторона, противолежащая центральному углу \( \alpha = 60^{\circ} \), будет наименьшей. Эта сторона равна 1.

Для треугольника, вписанного в окружность радиуса R, длина стороны \( a \) связана с противолежащим центральным углом \( \alpha \) формулой: \( a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2}) \).

Для наименьшей стороны \( a = 1 \) и центрального угла \( \alpha = 60^{\circ} \):

\( 1 = 2R \sin(\frac{60^{\circ}}{2}) \)

\( 1 = 2R \sin(30^{\circ}) \)

\( 1 = 2R \cdot \frac{1}{2} \)

\( 1 = R \)

Таким образом, радиус описанной окружности равен 1.

Ответ: R = 1.