23. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 1:2:3. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 17.

Решение:

Пусть длины дуг равны \( k \), \( 2k \) и \( 3k \). Общая длина окружности равна \( k + 2k + 3k = 6k \).

Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, относятся так же, как и длины дуг. Пусть центральные углы равны \( \alpha \), \( 2\alpha \) и \( 3\alpha \). Сумма углов равна \( 360^{\circ} \), поэтому \( \alpha + 2\alpha + 3\alpha = 360^{\circ} \), откуда \( 6\alpha = 360^{\circ} \) и \( \alpha = 60^{\circ} \).

Углы, опирающиеся на дуги, равны \( 60^{\circ} \), \( 120^{\circ} \) и \( 180^{\circ} \).

Стороны треугольника, как хорды, опираются на эти дуги. Меньшая сторона треугольника опирается на меньшую дугу, соответствующий центральный угол которой равен \( 60^{\circ} \). Сторона, стягивающая дугу в \( 60^{\circ} \), равна радиусу окружности, если треугольник равносторонний. Однако, если центральный угол равен \( 60^{\circ} \), то треугольник, образованный радиусами и хордой, равнобедренный с углом \( 60^{\circ} \) между равными сторонами, следовательно, он равносторонний. Значит, сторона равна радиусу.

Наименьшая сторона равна 17. Так как эта сторона опирается на дугу с центральным углом \( 60^{\circ} \), эта сторона равна радиусу описанной окружности.

Ответ: 17.