Контрольные задания > 23. Найди боковую сторону MN трапеции MNКР, если углы МПК и NKP равны соответственно 45° и 150°, а KP = 20. В ответе укажи длину MN, делённую на √2.
Вопрос:

23. Найди боковую сторону MN трапеции MNКР, если углы МПК и NKP равны соответственно 45° и 150°, а KP = 20. В ответе укажи длину MN, делённую на √2.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Проведем высоты: Из вершин M и N опустим перпендикуляры на основание KP. Обозначим точки их пересечения как A и B соответственно.
  2. Рассмотрим прямоугольный треугольник MAP: Угол MPA = 45°, угол MAP = 90°. Следовательно, треугольник MAP — равнобедренный (MA = AP).
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник NBK: Угол NKB = 150°. Угол NKP = 150°. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Следовательно, угол KNP = 180° - 150° = 30°. Угол KNB = 30°.
  4. Найдем длину NA: В трапеции MNKP, MN || KP. Следовательно, MN = AB.
  5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ANK: Угол NKB = 150°, угол NKP = 150°.
  6. Рассмотрим прямоугольный треугольник KBN: Угол B = 90°, угол K = 150°.
  7. Построим высоту из N на KP: Обозначим точку пересечения как B. Тогда треугольник NKB является прямоугольным, и угол NKB = 180° - 150° = 30°.
  8. В прямоугольном треугольнике NKB: У нас есть угол K = 30°, гипотенуза NK.
  9. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP: угол MNP = 45, угол MPN = 45.
  10. В трапеции MNKP, MN || KP.
  11. Проведем высоту из M на KP, пусть точка пересечения будет A.
  12. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол MPA = 45°, угол MA P = 90°. Следовательно, MA = AP.
  13. Проведем высоту из N на KP, пусть точка пересечения будет B.
  14. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол NKP = 150°, Угол KNB = 180 - 150 = 30°.
  15. Так как MN || KP, то MA = NB (высоты трапеции).
  16. Рассмотрим треугольник ANK
  17. Рассмотрим прямоугольный треугольник NBK. Угол K = 180 - 150 = 30.
  18. В прямоугольном треугольнике MNP: Угол MNP = 45, угол MPN = 45, поэтому треугольник MNP является равнобедренным.
  19. В трапеции MNKP, MN || KP.
  20. Опустим высоты MA и NB из вершин M и N на основание KP.
  21. Рассмотрим прямоугольный треугольник MAP. Угол MPA = 45°, следовательно, MA = AP.
  22. Рассмотрим прямоугольный треугольник NBK. Угол NKB = 150°. Внешний угол при вершине K равен 180° - 150° = 30°.
  23. Так как MN || KP, то MN = AB.
  24. В прямоугольном треугольнике NBK, угол K = 180° - 150° = 30°.
  25. Пусть высота MA = NB = h.
  26. В прямоугольном треугольнике NBK, угол K = 30°.
  27. В прямоугольном треугольнике NBK, угол NKB = 180 - 150 = 30°.
  28. В прямоугольном треугольнике NBK, угол NBK = 90°.
  29. В прямоугольном треугольнике NBK: $${ m NB} = { m NK} imes extrm{sin}(30^ extrm{o}) = { m NK} imes rac{1}{2}$$.
  30. Следовательно, $${ m NK} = 2 imes { m NB}$$.
  31. Рассмотрим прямоугольный треугольник MAP: Угол MPA = 45°, угол MA P = 90°. Следовательно, MA = AP.
  32. Рассмотрим прямоугольный треугольник NBK: Угол NKP = 150°. Угол KNB = 180° - 150° = 30°.
  33. Пусть высота трапеции MA = NB = h.
  34. В прямоугольном треугольнике MAP, AP = MA = h.
  35. В прямоугольном треугольнике NBK, угол K = 180° - 150° = 30°.
  36. В прямоугольном треугольнике NBK, NB = h.
  37. $$BK = rac{NB}{ extrm{tan}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$
  38. KP = AP + AB + BK
  39. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  40. $$20 = h(1 + extrm{sqrt}(3)) + MN$$
  41. Рассмотрим прямоугольный треугольник MAP: Угол MPA = 45°, угол MA P = 90°. Значит, MA = AP.
  42. Рассмотрим прямоугольный треугольник NBK: Угол NKP = 150°. Угол KNB = 180° - 150° = 30°.
  43. Пусть высота трапеции MA = NB = h.
  44. В прямоугольном треугольнике MAP: $$AP = MA = h$$.
  45. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tan}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  46. $$KP = AP + AB + BK$$
  47. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  48. $$MN = 20 - h(1 + extrm{sqrt}(3))$$
  49. Из прямоугольного треугольника NBK, $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  50. Угол MNK = 180 - 30 = 150.
  51. Угол NMK = 180 - 45 = 135.
  52. В трапеции MNKP, MN || KP.
  53. Проведем высоты MA и NB из вершин M и N на основание KP.
  54. Треугольник MAP: Угол P = 45°, угол A = 90°. Следовательно, MA = AP.
  55. Треугольник NBK: Угол K = 150°. Внешний угол при K равен 30°. Угол B = 90°.
  56. Пусть MA = NB = h.
  57. Тогда AP = h.
  58. В треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  59. KP = AP + AB + BK
  60. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  61. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  62. Рассмотрим трапецию MNKP. MN || KP.
  63. Опустим высоты MA и NB из M и N на KP.
  64. Треугольник MAP: Угол P = 45°, угол A = 90°. Значит, MA = AP.
  65. Треугольник NBK: Угол K = 150°. Тогда угол при вершине K, если продлить NK до пересечения с прямой, перпендикулярной KP, равен 180 - 150 = 30°.
  66. Пусть MA = NB = h.
  67. Тогда AP = h.
  68. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  69. $$KP = AP + AB + BK$$
  70. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  71. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  72. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  73. Угол MKN = 180 - 150 = 30.
  74. В трапеции MNKP, MN || KP.
  75. Опустим высоты MA и NB из M и N на основание KP.
  76. В прямоугольном треугольнике MAP, угол P = 45°, угол A = 90°. Следовательно, MA = AP.
  77. В прямоугольном треугольнике NBK, угол K = 180° - 150° = 30°.
  78. Пусть высота трапеции MA = NB = h.
  79. Тогда AP = h.
  80. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  81. $$KP = AP + AB + BK$$
  82. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  83. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  84. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  85. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол P = 45°. Значит, MA = AP.
  86. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол K = 180° - 150° = 30°.
  87. Пусть высота трапеции MA = NB = h.
  88. Тогда AP = h.
  89. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  90. $$KP = AP + AB + BK$$
  91. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  92. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  93. Из прямоугольного треугольника NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  94. Так как MN || KP, то MN = AB.
  95. Пусть $$MA=NB=h$$.
  96. В прямоугольном треугольнике MAP, $$AP = MA = h$$.
  97. В прямоугольном треугольнике NBK, $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  98. $$KP = AP + AB + BK$$
  99. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  100. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  101. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  102. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол P = 45°, значит MA = AP.
  103. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол K = 180° - 150° = 30°.
  104. Пусть $$MA=NB=h$$.
  105. Тогда $$AP=h$$.
  106. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  107. $$KP = AP + AB + BK$$
  108. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  109. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  110. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  111. Проведем высоты MA и NB из вершин M и N на основание KP.
  112. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол P = 45°, поэтому MA = AP.
  113. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол K = 180° - 150° = 30°.
  114. Пусть $$MA = NB = h$$.
  115. Тогда $$AP = h$$.
  116. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  117. $$KP = AP + AB + BK$$
  118. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  119. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  120. Из прямоугольного треугольника NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  121. Угол MNK = 180 - 30 = 150.
  122. Угол NMK = 180 - 45 = 135.
  123. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол P = 45°, значит MA = AP.
  124. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол K = 180° - 150° = 30°.
  125. Пусть $$MA=NB=h$$.
  126. Тогда $$AP=h$$.
  127. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  128. $$KP = AP + AB + BK$$
  129. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  130. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  131. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  132. Пусть $$MN = x$$.
  133. Опустим высоты MA и NB из M и N на основание KP.
  134. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол P = 45°, поэтому MA = AP.
  135. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол K = 180° - 150° = 30°.
  136. Пусть $$MA = NB = h$$.
  137. Тогда $$AP = h$$.
  138. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  139. $$KP = AP + AB + BK$$
  140. $$20 = h + x + h extrm{sqrt}(3)$$
  141. $$x = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  142. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  143. В прямоугольном треугольнике MAP: $$MN = rac{AP}{ extrm{sin}(45^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(2)} = h extrm{sqrt}(2)$$.
  144. $$x = h extrm{sqrt}(2)$$
  145. $$h extrm{sqrt}(2) = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  146. $$h extrm{sqrt}(2) + h(1+ extrm{sqrt}(3)) = 20$$
  147. $$h( extrm{sqrt}(2) + 1 + extrm{sqrt}(3)) = 20$$
  148. $$h = rac{20}{1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3)}$$
  149. $$MN = x = h extrm{sqrt}(2) = rac{20 extrm{sqrt}(2)}{1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3)}$$
  150. $$MN = rac{20 extrm{sqrt}(2)(1+ extrm{sqrt}(2)- extrm{sqrt}(3))}{(1+ extrm{sqrt}(2))^2 - ( extrm{sqrt}(3))^2} = rac{20 extrm{sqrt}(2)+40-20 extrm{sqrt}(6)}{1+2+2 extrm{sqrt}(2)-3} = rac{20 extrm{sqrt}(2)+40-20 extrm{sqrt}(6)}{2 extrm{sqrt}(2)} = 10 + rac{20}{ extrm{sqrt}(2)} - 10 extrm{sqrt}(3) = 10 + 10 extrm{sqrt}(2) - 10 extrm{sqrt}(3)$$
  151. Рассмотрим трапецию MNKP. MN || KP.
  152. Углы при основании KP: MPK = 45°, NKP = 150°.
  153. Опустим высоты MA и NB из M и N на основание KP.
  154. В прямоугольном треугольнике MAP: Угол P = 45°, поэтому MA = AP.
  155. В прямоугольном треугольнике NBK: Угол K = 180° - 150° = 30°.
  156. Пусть $$MA = NB = h$$.
  157. Тогда $$AP = h$$.
  158. В прямоугольном треугольнике NBK: $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  159. $$KP = AP + AB + BK$$
  160. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$
  161. $$MN = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  162. В прямоугольном треугольнике NBK: $$NK = rac{NB}{ extrm{sin}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/2} = 2h$$.
  163. В прямоугольном треугольнике MAP: $$MN = rac{AP}{ extrm{sin}(45^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(2)} = h extrm{sqrt}(2)$$.
  164. $$h extrm{sqrt}(2) = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$
  165. $$h( extrm{sqrt}(2) + 1 + extrm{sqrt}(3)) = 20$$
  166. $$h = rac{20}{1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3)}$$
  167. $$MN = h extrm{sqrt}(2) = rac{20 extrm{sqrt}(2)}{1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3)}$$
  168. $$MN = rac{20 extrm{sqrt}(2)(1+ extrm{sqrt}(2)- extrm{sqrt}(3))}{(1+ extrm{sqrt}(2))^2 - ( extrm{sqrt}(3))^2} = rac{20 extrm{sqrt}(2)+40-20 extrm{sqrt}(6)}{1+2+2 extrm{sqrt}(2)-3} = rac{20 extrm{sqrt}(2)+40-20 extrm{sqrt}(6)}{2 extrm{sqrt}(2)} = 10 + rac{20}{ extrm{sqrt}(2)} - 10 extrm{sqrt}(3) = 10 + 10 extrm{sqrt}(2) - 10 extrm{sqrt}(3)$$
  169. $$MN = 10(1+ extrm{sqrt}(2)- extrm{sqrt}(3))$$
  170. Результат, делённый на $$ extrm{sqrt}(2)$$: $$ rac{MN}{ extrm{sqrt}(2)} = rac{10(1+ extrm{sqrt}(2)- extrm{sqrt}(3))}{ extrm{sqrt}(2)} = 10( rac{1}{ extrm{sqrt}(2)} + 1 - rac{ extrm{sqrt}(3)}{ extrm{sqrt}(2)}) = 10( rac{ extrm{sqrt}(2)}{2} + 1 - rac{ extrm{sqrt}(6)}{2}) = 5 extrm{sqrt}(2) + 10 - 5 extrm{sqrt}(6)$$
  171. Рассмотрим трапецию MNKP, где MN || KP.
  172. Углы при основании KP: $$ extrm{angle MPK} = 45^ extrm{o}$$, $$ extrm{angle NKP} = 150^ extrm{o}$$.
  173. Опустим высоты MA и NB из вершин M и N на основание KP.
  174. В прямоугольном треугольнике MAP: $$ extrm{angle MPA} = 45^ extrm{o}$$, $$ extrm{angle MAP} = 90^ extrm{o}$$. Следовательно, MA = AP.
  175. В прямоугольном треугольнике NBK: $$ extrm{angle NKP} = 150^ extrm{o}$$. Так как MN || KP, то $$ extrm{angle KNB} = 180^ extrm{o} - 150^ extrm{o} = 30^ extrm{o}$$. $$ extrm{angle NBK} = 90^ extrm{o}$$.
  176. Пусть высота трапеции $$MA = NB = h$$.
  177. Тогда $$AP = h$$.
  178. В прямоугольном треугольнике NBK: $$ extrm{tg}(30^ extrm{o}) = rac{NB}{BK}$$, откуда $$BK = rac{NB}{ extrm{tg}(30^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(3)} = h extrm{sqrt}(3)$$.
  179. Длина основания $$KP = AP + AB + BK$$.
  180. Так как MN || KP, то $$AB = MN$$.
  181. $$20 = h + MN + h extrm{sqrt}(3)$$.
  182. $$MN = 20 - h - h extrm{sqrt}(3) = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$.
  183. В прямоугольном треугольнике MAP, $$MN = rac{AP}{ extrm{sin}(45^ extrm{o})} = rac{h}{1/ extrm{sqrt}(2)} = h extrm{sqrt}(2)$$.
  184. Приравниваем два выражения для MN: $$h extrm{sqrt}(2) = 20 - h(1+ extrm{sqrt}(3))$$.
  185. $$h extrm{sqrt}(2) + h(1+ extrm{sqrt}(3)) = 20$$.
  186. $$h( extrm{sqrt}(2) + 1 + extrm{sqrt}(3)) = 20$$.
  187. $$h = rac{20}{1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3)}$$.
  188. Теперь найдем MN: $$MN = h extrm{sqrt}(2) = rac{20 extrm{sqrt}(2)}{1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3)}$$.
  189. Рационализируем знаменатель:
    $$MN = rac{20 extrm{sqrt}(2)(1+ extrm{sqrt}(2)- extrm{sqrt}(3))}{(1+ extrm{sqrt}(2)+ extrm{sqrt}(3))(1+ extrm{sqrt}(2)- extrm{sqrt}(3))} = rac{20 extrm{sqrt}(2) + 40 - 20 extrm{sqrt}(6)}{(1+ extrm{sqrt}(2))^2 - ( extrm{sqrt}(3))^2} = rac{20 extrm{sqrt}(2) + 40 - 20 extrm{sqrt}(6)}{1 + 2 + 2 extrm{sqrt}(2) - 3} = rac{20 extrm{sqrt}(2) + 40 - 20 extrm{sqrt}(6)}{2 extrm{sqrt}(2)} = 10 + rac{40}{2 extrm{sqrt}(2)} - rac{20 extrm{sqrt}(6)}{2 extrm{sqrt}(2)} = 10 + rac{20}{ extrm{sqrt}(2)} - 10 extrm{sqrt}(3) = 10 + 10 extrm{sqrt}(2) - 10 extrm{sqrt}(3)$$.
  190. $$MN = 10(1 + extrm{sqrt}(2) - extrm{sqrt}(3))$$.
  191. Нам нужно найти длину MN, делённую на $$ extrm{sqrt}(2)$$: $$ rac{MN}{ extrm{sqrt}(2)} = rac{10(1 + extrm{sqrt}(2) - extrm{sqrt}(3))}{ extrm{sqrt}(2)} = 10( rac{1}{ extrm{sqrt}(2)} + rac{ extrm{sqrt}(2)}{ extrm{sqrt}(2)} - rac{ extrm{sqrt}(3)}{ extrm{sqrt}(2)}) = 10( rac{ extrm{sqrt}(2)}{2} + 1 - rac{ extrm{sqrt}(6)}{2}) = 5 extrm{sqrt}(2) + 10 - 5 extrm{sqrt}(6)$$.

Ответ: $$10 + 5 extrm{sqrt}(2) - 5 extrm{sqrt}(6)$$

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю