223. Как следует соединить четыре резистора сопротивлением 20 Ом каждый, чтобы получить цепь сопротивлением 12 Ом?

Решение:

Чтобы получить общее сопротивление цепи равное 12 Ом, используя четыре резистора по 20 Ом, необходимо соединить два резистора последовательно, а затем эту пару соединить параллельно с двумя другими резисторами, соединенными последовательно.

1. Соединим два резистора последовательно: \( R_{12} = R_1 + R_2 = 20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом} = 40 \text{ Ом} \).

2. Соединим два других резистора последовательно: \( R_{34} = R_3 + R_4 = 20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом} = 40 \text{ Ом} \).

3. Теперь соединим полученные две пары параллельно. Общее сопротивление цепи будет:

\[ R_{общ} = \(\frac{R_{12} \cdot R_{34}}{R_{12} + R_{34}}\) = \(\frac{40 \text{ Ом} \cdot 40 \text{ Ом}}{40 \text{ Ом} + 40 \text{ Ом}}\) = \(\frac{1600}{80}\) \(\text{ Ом}\) = 20 \(\text{ Ом}\) \).

Этот вариант дает 20 Ом, что не соответствует условию задачи.

Рассмотрим другой вариант:

Соединим три резистора последовательно, а четвертый параллельно этой группе.

1. Три резистора последовательно: \( R_{123} = R_1 + R_2 + R_3 = 20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом} = 60 \text{ Ом} \).

2. Соединим полученную группу параллельно с четвертым резистором:

\[ R_{общ} = \(\frac{R_{123} \cdot R_4}{R_{123} + R_4}\) = \(\frac{60 \text{ Ом} \cdot 20 \text{ Ом}}{60 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом}}\) = \(\frac{1200}{80}\) \(\text{ Ом}\) = 15 \(\text{ Ом}\) \).

Этот вариант дает 15 Ом, что также не соответствует условию задачи.

Рассмотрим вариант, когда один резистор включен последовательно с параллельным соединением двух других, а четвертый резистор включен последовательно с этой группой.

1. Два резистора соединим параллельно: \( R_{23} = \frac{20 \text{ Ом} \cdot 20 \text{ Ом}}{20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом}} = \frac{400}{40} \text{ Ом} = 10 \text{ Ом} \).

2. Теперь соединим этот блок последовательно с первым резистором: \( R_{1,23} = R_1 + R_{23} = 20 \text{ Ом} + 10 \text{ Ом} = 30 \text{ Ом} \).

3. Наконец, соединим эту группу последовательно с четвертым резистором: \( R_{общ} = R_{1,23} + R_4 = 30 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом} = 50 \text{ Ом} \).

Этот вариант также не подходит.

Рассмотрим вариант, когда два резистора соединены параллельно, и это соединение последовательно с двумя другими резисторами.

1. Два резистора соединены параллельно: \( R_{12} = \frac{20 \text{ Ом} \cdot 20 \text{ Ом}}{20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом}} = 10 \text{ Ом} \).

2. Теперь соединим эту группу последовательно с двумя оставшимися резисторами:

\[ R_{общ} = R_{12} + R_3 + R_4 = 10 \(\text{ Ом}\) + 20 \(\text{ Ом}\) + 20 \(\text{ Ом}\) = 50 \(\text{ Ом}\) \).

Этот вариант тоже не подходит.

Рассмотрим вариант, когда два резистора соединены параллельно, и эта пара соединена параллельно с двумя другими резисторами, соединенными последовательно.

1. Два резистора соединены параллельно: \( R_{12} = \frac{20 \text{ Ом} \cdot 20 \text{ Ом}}{20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом}} = 10 \text{ Ом} \).

2. Два других резистора соединены последовательно: \( R_{34} = 20 \text{ Ом} + 20 \text{ Ом} = 40 \text{ Ом} \).

3. Соединяем эти две группы параллельно:

\[ R_{общ} = \(\frac{R_{12} \cdot R_{34}}{R_{12} + R_{34}}\) = \(\frac{10 \text{ Ом} \cdot 40 \text{ Ом}}{10 \text{ Ом} + 40 \text{ Ом}}\) = \(\frac{400}{50}\) \(\text{ Ом}\) = 8 \(\text{ Ом}\) \).

Этот вариант тоже не подходит.

Правильным будет такое соединение:

Два резистора соединить параллельно, а получившуюся группу последовательно с оставшимися двумя резисторами.

1. Два резистора соединить параллельно: \( R_{12} = \frac{20 \cdot 20}{20 + 20} = \frac{400}{40} = 10 \text{ Ом} \).

2. Соединить эту группу последовательно с двумя другими резисторами:

\[ R_{общ} = R_{12} + R_3 + R_4 = 10 \(\text{ Ом}\) + 20 \(\text{ Ом}\) + 20 \(\text{ Ом}\) = 50 \(\text{ Ом}\) \).

Давайте ещё раз пересмотрим условия. Нужно получить 12 Ом. Возможен такой вариант: один резистор соединен последовательно с другой группой, которая состоит из трех резисторов, соединенных параллельно.

1. Три резистора соединены параллельно: \( R_{234} = \frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20}} = \frac{1}{\frac{3}{20}} = \frac{20}{3} \text{ Ом} \).

2. Соединим этот блок последовательно с первым резистором:

\[ R_{общ} = R_1 + R_{234} = 20 \(\text{ Ом}\) + \(\frac{20}{3}\) \(\text{ Ом}\) = \(\frac{60 + 20}{3}\) \(\text{ Ом}\) = \(\frac{80}{3}\) \(\text{ Ом}\) \(\approx\) 26.67 \(\text{ Ом}\) \).

Этот вариант тоже не подходит.

Рассмотрим вариант, когда два резистора соединены последовательно, и эта группа соединена параллельно с двумя другими резисторами, соединенными последовательно.

1. Два резистора соединены последовательно: \( R_{12} = 20 + 20 = 40 \text{ Ом} \).

2. Другие два резистора соединены последовательно: \( R_{34} = 20 + 20 = 40 \text{ Ом} \).

3. Соединяем эти группы параллельно: \( R_{общ} = \frac{40 \cdot 40}{40 + 40} = \frac{1600}{80} = 20 \text{ Ом} \).

Ещё один вариант:

Соединить два резистора параллельно, а остальные два резистора — последовательно. Затем эти две группы соединить последовательно.

1. Два резистора параллельно: \( R_{12} = \frac{20 \times 20}{20 + 20} = 10 \text{ Ом} \).

2. Два резистора последовательно: \( R_{34} = 20 + 20 = 40 \text{ Ом} \).

3. Последовательно соединяем эти две группы: \( R_{общ} = R_{12} + R_{34} = 10 + 40 = 50 \text{ Ом} \).

Теперь попробуем такой вариант:

Два резистора соединить параллельно, получившееся сопротивление добавить последовательно к одному резистору, и эту группу соединить параллельно с оставшимся резистором.

1. Два резистора параллельно: \( R_{12} = \frac{20 \times 20}{20 + 20} = 10 \text{ Ом} \).

2. Полученное сопротивление последовательно с третьим резистором: \( R_{123} = R_{12} + R_3 = 10 + 20 = 30 \text{ Ом} \).

3. Эту группу параллельно с четвертым резистором:

\[ R_{общ} = \(\frac{R_{123} \times R_4}{R_{123} + R_4}\) = \(\frac{30 \times 20}{30 + 20}\) = \(\frac{600}{50}\) = 12 \(\text{ Ом}\) \).

Это правильный вариант соединения.

Описание соединения: Два резистора сопротивлением 20 Ом каждый соединить параллельно. К этой параллельной группе последовательно присоединить третий резистор сопротивлением 20 Ом. Полученную трехэлементную группу соединить параллельно с четвертым резистором сопротивлением 20 Ом.

Ответ: Два резистора соединить параллельно, эту группу последовательно с третьим резистором, а полученную структуру параллельно с четвертым резистором.