221. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) \((2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0\); б) \((t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)\); в) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\); г) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\).

а) Введём новую переменную: \(y=2x^2+3\). Тогда \(y^2-12y+11=0\), откуда \((y-1)(y-11)=0\), поэтому \(y=1\) или \(y=11\).

При \(y=1\): \(2x^2+3=1\), значит \(x^2=-1\), действительных корней нет. При \(y=11\): \(2x^2+3=11\), поэтому \(x^2=4\), откуда \(x=\pm2\).

Ответ: \(x=-2,\ 2\).

б) Пусть \(y=t^2-2t\). Получаем \(y^2-3=2y\), то есть \(y^2-2y-3=0\). Разложим на множители: \((y-3)(y+1)=0\), значит \(y=3\) или \(y=-1\).

Если \(y=3\), то \(t^2-2t=3\), или \((t-3)(t+1)=0\), поэтому \(t=3\) или \(t=-1\). Если \(y=-1\), то \(t^2-2t=-1\), откуда \((t-1)^2=0\) и \(t=1\).

Ответ: \(t=-1,\ 1,\ 3\).

в) Обозначим \(y=x^2+x\). Тогда \((y-1)(y+2)=40\), откуда \(y^2+y-42=0\), то есть \((y+7)(y-6)=0\). Следовательно, \(y=-7\) или \(y=6\).

Условие \(x^2+x=-7\) даёт \(x^2+x+7=0\); его дискриминант \(D=1-28=-27<0\), поэтому действительных корней нет. Условие \(x^2+x=6\) равносильно \((x+3)(x-2)=0\), откуда \(x=-3\) или \(x=2\).

Ответ: \(x=-3,\ 2\).

г) Пусть \(y=2x^2+x-1\). Тогда второй множитель равен \(y-3\), и уравнение принимает вид \(y(y-3)+2=0\). Получаем \(y^2-3y+2=0\), то есть \((y-1)(y-2)=0\). Значит, \(y=1\) или \(y=2\).

При \(y=1\): \(2x^2+x-2=0\), поэтому \(D=1+16=17\) и \(x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\). При \(y=2\): \(2x^2+x-3=0\), поэтому \(D=1+24=25\) и \(x=1\) или \(x=-\frac32\).

Ответ: \(x=\frac{-1-\sqrt{17}}4,\ \frac{-1+\sqrt{17}}4,\ 1,\ -\frac32\).