22 Постройте график функции y = (5x-8)/(5x^2-8x). Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет одну общую точку с графиком.

Решение:

1. Упростим выражение функции: \( y = \frac{5x-8}{5x^2-8x} = \frac{5x-8}{x(5x-8)} \).
2. При \( 5x-8 ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 8/5 = 1.6 \), мы можем сократить \( 5x-8 \).
3. Тогда \( y = \frac{1}{x} \) при \( x ≠ 1.6 \).
4. График функции — гипербола \( y = 1/x \) с выколотой точкой в \( x = 1.6 \).
5. Найдем значение \( y \) для выколотой точки: \( y = 1/1.6 = 1/(8/5) = 5/8 = 0.625 \).
6. Итак, график — это гипербола \( y = 1/x \) с выколотой точкой \( (1.6, 0.625) \).
7. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0,0) \).
8. Чтобы прямая \( y = kx \) имела одну общую точку с графиком \( y = 1/x \) (без выколотой точки), она должна быть касательной к нему.
9. Приравняем \( kx = 1/x \) ⇒ \( kx^2 = 1 \) ⇒ \( x^2 = 1/k \) ⇒ \( x = ± 1/√{k} \).
10. Это значит, что если \( k > 0 \), то есть две точки пересечения. Если \( k < 0 \), то нет точек пересечения.
11. Прямая, проходящая через начало координат, может иметь одну общую точку с гиперболой \( y = 1/x \) только в случае, если она совпадает с одной из асимптотот (что невозможно, так как \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \)).
12. Однако, нужно учесть выколотую точку \( (1.6, 0.625) \).
13. Если прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку \( (1.6, 0.625) \), то \( 0.625 = k · 1.6 \) ⇒ \( k = 0.625 / 1.6 = (5/8) / (8/5) = (5/8) · (5/8) = 25/64 \).
14. В этом случае прямая \( y = (25/64)x \) проходит через выколотую точку.
15. Других точек пересечения с \( y = 1/x \) у этой прямой нет, кроме \( x = ± 1/√{25/64} = ± 8/5 = ± 1.6 \).
16. При \( x = 1.6 \), \( y = 1/1.6 = 0.625 \). Эта точка выколота.
17. При \( x = -1.6 \), \( y = 1/(-1.6) = -0.625 \).
18. Таким образом, прямая \( y = (25/64)x \) проходит через выколотую точку \( (1.6, 0.625) \), но эта точка не является частью графика.
19. Следовательно, при \( k = 25/64 \) прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку с графиком функции (саму выколотую точку, которая не входит в область определения).
20. Есть еще случай, когда прямая проходит через начало координат \( (0,0) \) и касается гиперболы \( y = 1/x \). Это невозможно, так как \( y = kx \) всегда пересекает \( y = 1/x \) в двух точках (если \( k>0 \)), или в нуле (если \( k=0 \)), или нигде (если \( k<0 \)).
21. Рукописный расчет: \( 5x-8 \) и \( 5x^2-8x \). \( y=1/x \). \( y=kx \). \( kx=1/x \) ⇒ \( x^2=1/k \) ⇒ \( x=± 1/√{k} \). \( k=25/64 \) из \( 0.625 / 1.6 \). \( 73/8 : 73/8 = 1 \). \( 73/8 = 9.125 \). \( 1/x \). \( 5/8 = 0.625 \). \( 1.6 \). \( k=25/64 \).

Ответ: k = 25/64.