22. Постройте график функции y = { 4x - 5 при x < 1, -2,5x + 5 при 1 ≤ x ≤ 4, x - 9 при x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Задание 22. График функции и прямая

Для начала построим график заданной кусочно-линейной функции. Функция состоит из трёх частей:

1. При \( x < 1 \): \( y = 4x - 5 \)

Это прямая. Найдем значения в граничных точках:

• При \( x = 1 \), \( y = 4(1) - 5 = -1 \). Точка \( (1, -1) \) — граничная, но сама не включается (отверстие).
• Возьмём точку левее, например, \( x = 0 \): \( y = 4(0) - 5 = -5 \). Точка \( (0, -5) \)

2. При \( 1 ≤ x ≤ 4 \): \( y = -2.5x + 5 \)

Это также прямая. Найдем значения в граничных точках:

• При \( x = 1 \), \( y = -2.5(1) + 5 = 2.5 \). Точка \( (1, 2.5) \) — граничная, включается (закрашенная).
• При \( x = 4 \), \( y = -2.5(4) + 5 = -10 + 5 = -5 \). Точка \( (4, -5) \) — граничная, включается (закрашенная).

3. При \( x > 4 \): \( y = x - 9 \)

Это прямая. Найдем значения в граничной точке:

• При \( x = 4 \), \( y = 4 - 9 = -5 \). Точка \( (4, -5) \) — граничная, но сама не включается (отверстие).
• Возьмём точку правее, например, \( x = 5 \): \( y = 5 - 9 = -4 \). Точка \( (5, -4) \)

Теперь построим график, соединив найденные точки.

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) (горизонтальная прямая) пересекает график ровно два раза.

Рассмотрим поведение графика:

• Начало: При \( x ← -∞ \), \( y ← -∞ \).
• Первый участок: прямая \( y = 4x - 5 \) идет вверх до точки \( (1, -1) \) (не включая её).
• Второй участок: прямая \( y = -2.5x + 5 \) идет вниз от точки \( (1, 2.5) \) до точки \( (4, -5) \) (включая обе).
• Третий участок: прямая \( y = x - 9 \) идет вверх от \( (4, -5) \) (не включая её) до \( x ← +∞ \), \( y ← +∞ \).

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекать его в двух разных