22. Построй график функции y = |x² - x - 6| и определи, при каком значении m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно построить график функции \(y = |x^2 - x - 6|\) и понять, сколько точек пересечения будет с горизонтальной прямой \(y = m\).

1. Анализ функции \(x^2 - x - 6\):
   1. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 6 = 0\). Используем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\).
   2. Корни: \(x_1 = rac{1 - ext{sqrt}(25)}{2} = rac{1 - 5}{2} = -2\) и \(x_2 = rac{1 + ext{sqrt}(25)}{2} = rac{1 + 5}{2} = 3\).
   3. Вершина параболы \(x_в = rac{-b}{2a} = rac{1}{2} = 0.5\).
   4. Значение функции в вершине: \(y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25\).
2. Построение графика \(y = |x^2 - x - 6|\):
   1. График \(y = x^2 - x - 6\) — это парабола, ветви которой направлены вверх, с корнями в точках -2 и 3.
   2. Часть графика, где \(x^2 - x - 6 < 0\) (между корнями -2 и 3), зеркально отражается вверх относительно оси Ox.
   3. Таким образом, график функции \(y = |x^2 - x - 6|\) будет иметь «изгибы» в точках \((-2, 0)\) и \((3, 0)\), а минимальное значение функции будет \(y = 0\) в этих точках. Максимальное значение между корнями будет \(y = |-6.25| = 6.25\) (в точке \(x = 0.5\)).
3. Анализ пересечений с прямой \(y = m\):
   1. Если \(m < 0\), прямая \(y = m\) не пересекает график.
   2. Если \(m = 0\), прямая \(y = m\) пересекает график в двух точках (корнях \(x = -2\) и \(x = 3\)).
   3. Если \(0 < m < 6.25\), прямая \(y = m\) пересекает график в четырех точках.
   4. Если \(m = 6.25\), прямая \(y = m\) пересекает график в трех точках (две точки на отраженной части параболы и одна на исходной части параболы).
   5. Если \(m > 6.25\), прямая \(y = m\) пересекает график в двух точках.

Вывод:

Для того чтобы прямая \(y = m\) имела с графиком ровно три общие точки, значение \(m\) должно быть равно максимальному значению отраженной части параболы, которое соответствует значению функции в вершине параболы \(y = x^2 - x - 6\) до отражения. Это значение равно 6.25.