22. Построй график функции y = (x² - 9)(x + 2) / (-x - 2) и определи, при каком значении k прямая y = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Привет! Давай разберёмся с этой задачей по математике. Нам нужно построить график функции и найти такое значение k, при котором прямая y = kx будет пересекать наш график ровно в одной точке.

Шаг 1: Упрощаем функцию

Сначала посмотрим на нашу функцию:

\[ y = \frac{(x^2 - 9)(x + 2)}{-x - 2} \]

Заметим, что знаменатель можно вынести за скобки: -x - 2 = -(x + 2).

Теперь подставим это в нашу функцию:

\[ y = \frac{(x^2 - 9)(x + 2)}{-(x + 2)} \]

Мы видим, что (x + 2) есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить эти выражения, но при этом нужно помнить, что x ≠ -2 (так как на ноль делить нельзя).

После сокращения получаем:

\[ y = -(x^2 - 9) \]

\[ y = -x^2 + 9 \]

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0; 9).

Шаг 2: Учитываем ограничение x ≠ -2

Нам нужно найти, какая точка на графике соответствует x = -2. Подставим это значение в упрощённое уравнение:

\[ y = -(-2)^2 + 9 \]

\[ y = -(4) + 9 \]

\[ y = 5 \]

Значит, на графике функции будет «выколотая» точка в координатах (-2; 5).

Шаг 3: Строим график

График функции y = -x^2 + 9 — это парабола с вершиной в точке (0; 9), ветвями вниз. Точка (-2; 5) на этом графике будет выколота.

Шаг 4: Ищем значение k

Теперь нам нужно найти такое k, чтобы прямая y = kx (которая проходит через начало координат (0; 0)) имела с нашим графиком ровно одну общую точку.

Прямая y = kx может пересекать параболу в двух точках, в одной точке (если она касается параболы или проходит через «выколотую» точку) или не пересекать совсем.

Рассмотрим случаи:

1. Прямая проходит через вершину параболы:
   В этом случае прямая y = kx пройдёт через точку (0; 9). Подставим эти координаты в уравнение прямой:
   \[ 9 = k \cdot 0 \]

   \[ 9 = 0 \]

   Это невозможно. Значит, прямая, проходящая через вершину, не может быть касательной.
   
   

2. Прямая проходит через «выколотую» точку (-2; 5):
   Подставим координаты этой точки в уравнение прямой y = kx:
   \[ 5 = k \cdot (-2) \]

   \[ k = \frac{5}{-2} \]

   \[ k = -2.5 \]

   В этом случае прямая y = -2.5x будет проходить через начало координат и «выколотую» точку (-2; 5). Так как эта точка «выколота» из графика нашей функции, прямая пересечёт график ровно в этой одной точке.
   
   

3. Прямая является касательной к параболе:
   Чтобы найти точки касания, приравняем уравнения:
   \[ -x^2 + 9 = kx \]

   \[ x^2 + kx - 9 = 0 \]

   Для того чтобы прямая была касательной, у этого квадратного уравнения должен быть ровно один корень. Это значит, что дискриминант (D) должен быть равен нулю.
   
   D = b² - 4ac

   В нашем уравнении: a = 1, b = k, c = -9.

   \[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) \]

   \[ D = k^2 + 36 \]

   Приравниваем дискриминант к нулю:

   \[ k^2 + 36 = 0 \]

   \[ k^2 = -36 \]

   Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Это означает, что прямая y = kx никогда не будет касательной к параболе y = -x² + 9.
   
   

Таким образом, единственное значение k, при котором прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку, это когда прямая проходит через «выколотую» точку (-2; 5).

Ответ: k = -2.5