22. Построй график функции у = |x(x - 2)| - 2х. Определи, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Привет! Давай разберемся с этой задачей пошагово.

1. Строим график функции

Сначала раскроем модуль. Функция зависит от знака выражения x(x - 2). Это парабола с корнями в 0 и 2, ветвями вверх. Значит, x(x - 2) >= 0 при x <= 0 или x >= 2, и x(x - 2) < 0 при 0 < x < 2.

• Случай 1: x <= 0 или x >= 2

В этом случае x(x - 2) >= 0, значит |x(x - 2)| = x(x - 2).

y = x(x - 2) - 2x = x^2 - 2x - 2x = x^2 - 4x

Это парабола. Найдем вершину: x_v = -(-4)/(2*1) = 2. Значит, y_v = 2^2 - 4*2 = 4 - 8 = -4. Вершина в точке (2, -4).

• Случай 2: 0 < x < 2

В этом случае x(x - 2) < 0, значит |x(x - 2)| = -(x(x - 2)) = -x^2 + 2x.

y = (-x^2 + 2x) - 2x = -x^2

Это парабола, ветвями вниз. Ее часть будет использоваться только для 0 < x < 2.

Теперь соберем график:

1. Ветви параболы y = x^2 - 4x для x <= 0 и x >= 2. Точка (2, -4) будет началом одной из ветвей.
2. Часть параболы y = -x^2 для 0 < x < 2.

График будет выглядеть так:

2. Определяем значения m

Прямая y = m — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения m, при которых эта линия пересекает наш график ровно в двух точках.

Посмотрев на график, мы видим, что:

• Если m находится ниже оси X (m < -4), прямая пересечет график в двух точках.
• Если m = -4, прямая коснется вершины параболы в точке (2, -4) и пересечет другую ветвь в одной точке, всего две точки.
• Если m находится между -4 и 0 (-4 < m < 0), прямая пересечет график в четырех точках.
• Если m = 0, прямая пройдет через точку (0, 0) и еще одну точку на ветви параболы, всего две точки.
• Если m > 0, прямая пересечет график в двух точках.

Таким образом, прямая y = m будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда m < -4 или m = -4 или m = 0 или m > 0.

Объединяя эти условия, мы получаем: m < -4, m = -4, m = 0, m > 0.

Запишем эти значения в порядке возрастания: -4, 0.

Ответ: -4,0