Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 22 (a) The diagram shows a solid cylinder and a solid sphere. The cylinder has radius 3r and height 8r. The sphere has radius…Фото задания

Ответ:

Перевод задания: На рисунке изображены сплошной цилиндр и сплошной шар. Радиус цилиндра равен 3r, а высота — 8r. Радиус шара равен r. (a) Найдите объём шара как долю объёма цилиндра. Ответ выразите в несократимом виде. Объём шара радиуса r равен \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). (b) Площадь поверхности шара равна \(81\pi\text{ см}^2\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Ответ выразите через π. Площадь поверхности шара радиуса r равна \(A=4\pi r^2\).

(a) English solution:

  1. Volume of the sphere: \(V_s=\frac{4}{3}\pi r^3\).
  2. Volume of the cylinder: \(V_c=\pi(3r)^2(8r)=72\pi r^3\).
  3. Therefore, \(\frac{V_s}{V_c}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{72\pi r^3}=\frac{4}{216}=\frac{1}{54}\).

Answer: \(\frac{1}{54}\).

(a) Решение на русском: Объём шара равен \(\frac{4}{3}\pi r^3\). Объём цилиндра: \(\pi(3r)^2\cdot 8r=72\pi r^3\). Поэтому доля объёма шара составляет \(\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{72\pi r^3}=\frac{1}{54}\).

Ответ: \(\frac{1}{54}\).

(b) English solution:

  1. Use the surface-area formula for the sphere: \(4\pi r^2=81\pi\).
  2. Hence \(r^2=\frac{81}{4}\).
  3. The curved surface area of a cylinder is \(2\pi rh\). Here, the cylinder radius is \(3r\) and its height is \(8r\), so
    \(A_c=2\pi(3r)(8r)=48\pi r^2\).
  4. Substitute \(r^2=\frac{81}{4}\):
    \(A_c=48\pi\cdot\frac{81}{4}=972\pi\text{ cm}^2\).

Answer: \(972\pi\text{ cm}^2\).

(b) Решение на русском: По формуле площади поверхности шара \(4\pi r^2=81\pi\), поэтому \(r^2=\frac{81}{4}\). Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi rh\). Подставляем радиус \(3r\) и высоту \(8r\): \(A=2\pi(3r)(8r)=48\pi r^2\). Тогда \(A=48\pi\cdot\frac{81}{4}=972\pi\text{ см}^2\).

Ответ: \(972\pi\text{ см}^2\).