22. (3 балла) Исследуйте функцию у=2х³-3х²+5 с помощью производной и постройте ее график.

Исследование функции \( y = 2x^3 - 3x^2 + 5 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, \( D(y) = (-∞, ∞) \).
2. Четность/нечетность:

\( y(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 + 5 = -2x^3 - 3x^2 + 5 \)

\( y(-x) ≠ y(x) \) и \( y(-x) ≠ -y(x) \), значит, функция ни четная, ни нечетная.

3. Точки пересечения с осями:
• С осью OY: Положим \( x = 0 \). \( y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 5 = 5 \). Точка пересечения: \( (0, 5) \).
• С осью OX: Положим \( y = 0 \). \( 2x^3 - 3x^2 + 5 = 0 \). Найдем корни этого уравнения. Попытаемся подобрать целый корень. Если \( x = -1 \), то \( 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5 = -2 - 3 + 5 = 0 \). Значит, \( x = -1 \) — корень. Выделим множитель \( (x+1) \) из многочлена.

2x³ - 3x² + 0x + 5 | x + 1
-(2x³ + 2x²)     | 2x² - 5x + 5
----------------
     -5x² + 0x
    -(-5x² - 5x)
    ------------
           5x + 5
          -(5x + 5)
          --------
                0

Итак, \( (x+1)(2x^2 - 5x + 5) = 0 \). Для квадратного трехчлена \( 2x^2 - 5x + 5 \) дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 2 · 5 = 25 - 40 = -15 < 0 \). Значит, \( 2x^2 - 5x + 5 \) не имеет действительных корней. Единственный корень — \( x = -1 \). Точка пересечения с осью OX: \( (-1, 0) \).

4. Возрастание и убывание, экстремумы:

Найдем производную:

\( y' = (2x^3 - 3x^2 + 5)' = 6x^2 - 6x \)

Приравняем производную к нулю:

\( 6x^2 - 6x = 0 \)

\( 6x(x - 1) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

Исследуем знаки производной:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0 \) — функция возрастает.
• При \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)), \( y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 \) — функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)), \( y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0 \) — функция возрастает.

Точка \( x = 0 \) — максимум, \( y(0) = 5 \). Точка локального максимума: \( (0, 5) \).

Точка \( x = 1 \) — минимум, \( y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \). Точка локального минимума: \( (1, 4) \).

5. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба:

Найдем вторую производную:

\( y'' = (6x^2 - 6x)' = 12x - 6 \)

Приравняем вторую производную к нулю:

\( 12x - 6 = 0 \)

\( 12x = 6 \)

\( x = \frac{6}{12} = 0.5 \)

Точка перегиба при \( x = 0.5 \). \( y(0.5) = 2(0.5)^3 - 3(0.5)^2 + 5 = 2(0.125) - 3(0.25) + 5 = 0.25 - 0.75 + 5 = 4.5 \). Точка перегиба: \( (0.5, 4.5) \).

Исследуем знаки второй производной:

• При \( x < 0.5 \) (например, \( x = 0 \)), \( y''(0) = 12(0) - 6 = -6 < 0 \) — функция выпукла вверх (вогнутая).
• При \( x > 0.5 \) (например, \( x = 1 \)), \( y''(1) = 12(1) - 6 = 6 > 0 \) — функция выпукла вниз (выпуклая).
6. Асимптоты:

Так как функция является многочленом, вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Наклонные асимптоты вида \( y = kx + b \) также отсутствуют.

7. Построение графика:

Отметим на координатной плоскости найденные точки:

• Пересечение с OY: \( (0, 5) \)
• Пересечение с OX: \( (-1, 0) \)
• Максимум: \( (0, 5) \)
• Минимум: \( (1, 4) \)
• Перегиб: \( (0.5, 4.5) \)

Учитывая промежутки возрастания/убывания и выпуклости, построим график.

Ответ: Функция возрастает на \( (-∞, 0) \) и \( (1, ∞) \), убывает на \( (0, 1) \). Локальный максимум в точке \( (0, 5) \), локальный минимум в точке \( (1, 4) \). Точка перегиба \( (0.5, 4.5) \). График построен.