21. Верно ли утверждение: а) наибольшее значение дроби 18 4x² +9 + y² + 4xy равно 1; б) наибольшее значение дроби 18 4x² +9 + y² + 4xy равно 2; в) наименьшее значение дроби 18 4x² +9 + y² + 4xy равно 2?

Решение:

Для того чтобы дробь \( \frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy} \) имела наибольшее значение, знаменатель \( 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy \) должен быть наименьшим положительным числом. Если знаменатель может быть равен нулю, то дробь не определена. Если знаменатель может принимать отрицательные значения, то наибольшее значение дроби будет стремиться к бесконечности при приближении знаменателя к нулю с отрицательной стороны. Рассмотрим знаменатель: \( 4x^2 + y^2 + 4xy + 9 \). Его можно преобразовать, выделив полный квадрат: \( (2x+y)^2 + 9 \).

Наименьшее значение выражения \( (2x+y)^2 \) равно 0 (когда \( 2x+y = 0 \)).

Таким образом, наименьшее значение знаменателя равно \( 0 + 9 = 9 \).

Наибольшее значение дроби равно \( \frac{18}{9} = 2 \).

Утверждения:

• а) наибольшее значение дроби равно 1; — Неверно.
• б) наибольшее значение дроби равно 2; — Верно.
• в) наименьшее значение дроби равно 2? — Неверно (наибольшее значение равно 2, наименьшего значения не существует, так как знаменатель стремится к бесконечности при увеличении x или y).

Ответ: а) — Нет, б) — Да, в) — Нет.