21. Решить тригонометрическое уравнение: 2cos²x - cos x = 0

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \).

1. Заменим \( \cos x \) на \( y \): \( 2y^2 - y = 0 \).
2. Вынесем \( y \) за скобки: \( y(2y - 1) = 0 \).
3. Отсюда получаем два возможных значения для \( y \):
• \( y = 0 \)
• \( 2y - 1 = 0 \(\implies\) \( y = \frac{1}{2} \)

Теперь вернёмся к замене \( \cos x = y \) и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1. Случай 1: \( \cos x = 0 \)
• Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2. Случай 2: \( \cos x = \frac{1}{2} \)
• Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).