21-30. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверить дифференцированием. 0. a) ∫(³√4 + ln x)² / x dx ; 6) ∫x ln²x dx ;

Решение:

а) \( \int \frac{\sqrt[3]{4 + \ln x}^2}{x} dx \)

Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной.

1. Пусть \( u = 4 + \ln x \).
2. Тогда \( du = \frac{1}{x} dx \).
3. Подставим \( u \) и \( du \) в интеграл: \( \int u^2 du \)
4. Проинтегрируем: \( \frac{u^3}{3} + C \)
5. Вернемся к исходной переменной, заменив \( u \) на \( 4 + \ln x \): \( \frac{(4 + \ln x)^3}{3} + C \)

Проверка дифференцированием:

Найдем производную от полученного выражения:

\( \frac{d}{dx} \left( \frac{(4 + \ln x)^3}{3} + C \right) = \frac{1}{3} \cdot 3(4 + \ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{(4 + \ln x)^2}{x} \)

Результат совпадает с подынтегральной функцией.

Ответ: \( \frac{(4 + \ln x)^3}{3} + C \)

б) \( \int x \ln^2 x dx \)

Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям дважды.

Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \)

Первое интегрирование по частям:

• Пусть \( u = \ln^2 x \) и \( dv = x dx \).
• Тогда \( du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx \) и \( v = \frac{x^2}{2} \).
• Подставим в формулу: \( \int x \ln^2 x dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int \frac{x^2}{2} \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx \)
• Упростим: \( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int x \ln x dx \)

Второе интегрирование по частям (для \( \int x \ln x dx \)):

• Пусть \( u = \ln x \) и \( dv = x dx \).
• Тогда \( du = \frac{1}{x} dx \) и \( v = \frac{x^2}{2} \).
• Подставим в формулу: \( \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx \)
• Упростим: \( \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C_1 \)

Собираем все вместе:

\( \int x \ln^2 x dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) + C \)

\( \int x \ln^2 x dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C \)

Проверка дифференцированием:

Найдем производную от полученного выражения:

\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C \right) \)

Применим правило произведения и производную сложной функции:

\( = \left( \frac{2x}{2} \ln^2 x + \frac{x^2}{2} \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \right) - \left( \frac{2x}{2} \ln x + \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \right) + \frac{2x}{4} \)

\( = (x \ln^2 x + x \ln x) - (x \ln x + \frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \)

\( = x \ln^2 x + x \ln x - x \ln x - \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \)

\( = x \ln^2 x \)

Результат совпадает с подынтегральной функцией.

Ответ: \( \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C \)