21.3. Докажите, что при любом натуральном n значения выражений: 1) 7^n − 1 кратно 6; 2) 19^{2n} + 1 кратно 20; 3) 16^n − 11^n кратно 5.

1. Так как \(7 \equiv 1 \pmod{6}\), то \(7^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{6}\). Следовательно, \(7^n-1\) кратно \(6\).
2. Так как \(19 \equiv -1 \pmod{20}\), то \(19^{2n} \equiv (-1)^{2n}=1 \pmod{20}\). Поэтому \(19^{2n}+1 \equiv 2 \pmod{20}\), а не кратно \(20\). В условии, вероятно, опечатка: выражение \(19^{2n}-1\) действительно кратно \(20\).
3. Так как \(16 \equiv 1 \pmod{5}\) и \(11 \equiv 1 \pmod{5}\), то \(16^n-11^n \equiv 1^n-1^n=0 \pmod{5}\). Следовательно, выражение кратно \(5\).

Ответ: 1) доказано; 2) утверждение неверно в указанном виде, вероятна замена знака «+» на «−»; 3) доказано.