21. (3 балла). Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \) с помощью определённого интеграла.

1. Определим пределы интегрирования: от \( x = 1 \) до \( x = 2 \).
2. Функция, ограничивающая площадь сверху: \( y = \frac{1}{x} \).
3. Функция, ограничивающая площадь снизу: \( y = 0 \).
4. Вычислим интеграл: \[ S = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - 0 \right) dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \]
5. Первообразная функции \( \frac{1}{x} \) — это \( \ln|x| \).
6. Вычислим значение интеграла: \[ S = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} = \ln|2| - \ln|1| \]
7. Так как \( \ln|1| = 0 \), то: \[ S = \ln(2) \]

Ответ: \( \ln(2) \).