21.13. Найдите наименьшее значение функции f(x)=3x²-6x-5 на отрезке [0;2]: a) -5; б) -8; в) -4; г) 0; д) -1.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. Нам нужно найти наименьшее значение функции f(x) = 3x² - 6x - 5 на заданном отрезке [0; 2].

Что такое наименьшее значение функции?

Представь, что график функции — это горный ландшафт. Наименьшее значение — это самая низкая точка в определенной области (на нашем отрезке).

Как это найти?

1. Находим вершину параболы.

   Функция f(x) = 3x² - 6x - 5 — это квадратичная функция, её график — парабола. Направление ветвей зависит от коэффициента перед x². У нас это 3 (больше нуля), значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функции будет в её вершине.

   Координату x вершины параболы можно найти по формуле: x₀ = -b / (2a).

   В нашем случае a = 3, b = -6. Подставляем:

   \[ x₀ = -(-6) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1 \]

2. Проверяем, попадает ли вершина на отрезок.

   Наш отрезок — это [0; 2]. Координата вершины x₀ = 1 попадает в этот отрезок.

3. Находим значение функции в вершине.

   Теперь подставляем x = 1 в нашу функцию:

   \[ f(1) = 3 * (1)² - 6 * 1 - 5 = 3 * 1 - 6 - 5 = 3 - 6 - 5 = -8 \]

   Значение функции в вершине равно -8.

4. Сравниваем значения на концах отрезка.

   Нам нужно сравнить значение в вершине с значениями на концах отрезка, чтобы убедиться, что именно там наименьшее значение.

   На левом конце отрезка (x = 0):

   \[ f(0) = 3 * (0)² - 6 * 0 - 5 = 0 - 0 - 5 = -5 \]

   На правом конце отрезка (x = 2):

   \[ f(2) = 3 * (2)² - 6 * 2 - 5 = 3 * 4 - 12 - 5 = 12 - 12 - 5 = -5 \]

5. Выбираем наименьшее значение.

   Теперь сравниваем полученные значения: f(1) = -8, f(0) = -5, f(2) = -5.

   Самое маленькое из этих чисел — это -8.

Вывод: Наименьшее значение функции на отрезке [0; 2] равно -8.

Правильный ответ: б) -8.